2014-02-02
1566
Рис.5.3.1
Рис.5.2 Рис.5.3
Построение эпюр крутящих моментов
Лекция 5. Кручение
Кручением называется вид нагружения, при котором к брусу прикладываются внешние скручивающие моменты, а в поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор - крутящий момент Mк (рис.5.1).
Брусья, передающие крутящий момент называются валами. Внешние скручивающие моменты, как правило, передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п. В большинстве случаев бывают заданы мощность, передаваемая валом, и числом оборотов, а величины скручивающих моментов определяются исходя из этих данных.
Пусть вал вращается с постоянной скоростью n об/мин. и передает мощность N Нм/с. Угловая скорость вращения вала равна (рад/сек), а передаваемая мощность.
Скручивающий момент равен.
Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала.
Крутящий момент Мк в сечении вала числено равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения, при этом могут рассматриваться как левая, так и правая отсеченные части вала.
Пример 1. Рассмотрим вал, нагруженный скручивающими моментами Т1= 10кН×м, Т2= 25 кН×м, Т3= 35 кН×м (рис.5.2).
Воспользуемся методом сечений.
Рассечем участки вала (рис.5.2). Границами участков являются точки приложения скручивающих моментов.
Отбросим правую отсеченную часть.
Заменим ее крутящим моментом Мк.
Из уравнения равновесия отсеченной части найдем величину крутящего момента Мк, возникающего в сечении.
I участок
,
Mк1 = 0.
II участок
,
Mк2 = T1 = 10 кНм.
III участок
Mк3 = T1 + T2 = 35 кНм.
Для наглядного представления о величине крутящих моментов и характере их распределения по длине вала построим эпюры этих моментов. Построение эпюр крутящих моментов аналогично построению эпюр продольных сил при осевом растяжении-сжатии (рис.5.3).
Заметим, что в местах приложения внешних моментов ординаты эпюры скачкообразно изменяются на величину приложенного внешнего момента.
Пример 2. Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.5.3.1,а).
Решение.
Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.
1.Намечаем характерные сечения.
2.Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.
3.По найденным значениям строим эпюру (рис.5.3.1,б).
Опыты показывают, что если на поверхности бруса круглого сечения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности нанести радиальные линии (рис.5.4), то после деформации кручение окажется что:
· все образующие поворачиваются на один и тот же угол g, а прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы;
· торцевые сечения остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются;
· каждое сечение поворачивается относительно другого на некоторый угол j, называемый углом закручивания;
· радиальные линии на торцевой поверхности остаются прямыми.
На основании этих наблюдений можно заключить, что может быть принята гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений), а в вале возникают условия чистого сдвига, в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, нормальные напряжения равны нулю.
Рассмотрим поперечное сечение вала, расположенное на некотором расстоянии z от торцевого, где Мк= T (рис.5.4). На элементарной площадке dF будет действовать элементарная сила tdF, момент который относительно оси вала равен (tdF)× r. Крутящий момент Мк, в сечении равен
. (5.1)
Для того чтобы проинтегрировать это выражение необходимо знать закон распределения напряжений в сечении. Выделим из вала элементарное кольцо длиной dz и толщиной dr (рис.5.5).
Правый торец элемента повернется относительно левого на угол dj, образующая СВ повернется на угол g и займет положение СВ 1. Угол g - относительный сдвиг. Из треугольника ОВВ 1 найдем:
.
Из треугольника СВВ 1:. Откуда, приравнивая правые части, получим
.
На основании закона Гука при сдвиге:
. (5.2)
Подставим выражение (5.2) в (5.1):
.
Откуда
. (5.3)
Подставим значение в выражение (5.2) получим:
.
Таким образом, касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки и одинаковы в точках, одинаково удаленных от центра тяжести сечения (рис. 5.6). При r = 0 получим t = 0. Наибольшие напряжения возникают в точках контура сечения при r = R:
.
Величина отношения полярного момента инерции к радиусу вала называется моментом сопротивления сечения при кручении или полярным моментом сопротивления
.
Для сплошного круглого сечения
.
Для кольцевого сечения
,
где.
Тогда максимальные касательные напряжения равны
.
