Касательные напряжения в поперечных сечениях бруса

Кручение бруса круглого и кольцевого поперечных сечений

Для определения распределения крутящего момента по поперечному сечению бруса принимают следующие допущения.

1. Гипотеза плоских сечений справедлива и при кручении, а именно: сечения плоские и перпендикулярные к оси до деформации остаются плоскими и перпендикулярными к оси и после деформации.

2. Радиусы поперечных сечений при кручении не искривляются.

3. Расстояния между поперечными сечениями при кручении остаются неизменными.

4 Материал бруса подчиняется закону Гука.

Принятые допущения подтверждаются простым экспериментом. Если нанесем на поверхность бруса сетку продольных и поперечных линий (рис 3.35а) и подвергнем брус кручению, то все продольные линии повернутся на один и тот же угол и превратятся в винтовые, а поперечные линии останутся без изменений и расстояние между ними не изменится (рис. 3.35б).

Рисунок 3.35

Этот эксперимент позволяет заключить, что все поперечные сечения, не изменяя своей формы, размеров, взаимного расположения, при кручении поворачиваются друг относительно друга как жесткие диски. Прямоугольный (заштрихованный) элемент, выделенный на поверхности бруса, после деформации перекашивается, т.е. подвергается сдвигу.

Принятые допущения определяют характер распределения напряжений по поперечному сечению. Во-первых, в поперечных сечениях отсутствуют нормальные напряжения, так как плоские сечения после деформирования остаются плоскими и расстояния между ними остаются неизменными. Во-вторых, касательные напряжения в равноудаленных от оси бруса точках сечения равны по величине, и направлены по нормали к радиусу, так как радиусы поперечного сечения не искривляются при повороте сечения относительно оси бруса как жесткого диска.

Рассмотрим напряженное состояние поперечного сечения бруса (рис. 3.36).

Рисунок 3.36

Выделим в окрестности произвольной точки с радиусом ρ бесконечно-малый элемент dF. Крутящий момент, возникающий в сечении M_x равен:

(1)

В связи с тем, что между крутящим моментом и касательными напряжениями существует интегральное соотношение, то для вычисления касательных напряжений необходимо определить закон их распределения по поперечному сечению. С этой целью рассмотрим деформацию кольцевого слоя бесконечно малой толщины dρ, выделенного из бруса двумя сечениями, расположенными друг от друга на бесконечно малом расстоянии dx (рис. 3.37а).

Рисунок 3.37

Выделим прямоугольный элемент abcd (рис. 3.37б). Из треугольника abb ':

bb'= dx´tgγ ≈ dx´γ (в силу малости угла сдвига γ), а из треугольника obb':

bb' = ρ´dφ.

Следовательно:

dx´γ = ρ´dφ, откуда

γ = ρ´(dφ/dx)

Воспользуемся законом Гука при сдвиге: τ = G´γ и подставим в него выражение γ, получим:

τ = G´ρ´(dφ/dx)= G´ρ´θ (2)

Величину θ = dφ/dx называют относительным углом закручивания.

Подставим полученное соотношение τ в интегральное выражение (1), получим:

M_x = (3)

Введем обозначение:.

Это выражение является геометрической характеристикой поперечного сечения и называется геометрической жесткостью на кручение и в данном случае совпадает с полярным моментом инерции сечения.

Соотношение (3) принимает вид:

M_x = G´θ´I_кр (4)

Из соотношения (2), относительный угол закручивания θ равен:

θ = τ/(G´ρ).

Подставив выражение θ в соотношение (4), получим, что касательные напряжения равны:

τ = (M_x/I_кр)´ρ

Анализ полученной формулы показывает, что касательные напряжения распределены по линейному закону вдоль радиуса сечения и в любых равноудаленных от центра точках сечения равны по величине τ_A= τ_B (рис. 3.38).

Рисунок 3.38

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках максимально удаленных от центра, т.е. в точках контура сечения:

τ_max = (M_x/I_кр)´(D/2) = M_x/W_кр,

где величину W_кр = I_кр/(D/2) называют моментом сопротивления кручению.