2014-02-02
329Рис. 3. Шесть членов разложения
Рис. 2. Четыре члена разложения
Рис. 1. Два члена разложения
Рис. 4. Десять членов разложения
Чтобы получить наиболее точное значение функции при наименьшем количестве членов разложения надо в формуле Тейлора в качестве параметра а выбрать такое число, которое достаточно близко к значению х, и значение функции от этого числа легко вычисляется.
Для примера вычислим значение sin200.
Предварительно переведем угол 200 в радианы: 200 = p/9.
Применим разложение в ряд Тейлора, ограничившись тремя первыми членами разложения:
В четырехзначных таблицах Брадиса для синуса этого угла указано значение 0,3420.
Выше говорилось, что при х®0 функция sinx является бесконечно малой и может при вычислении быть заменена на эквивалентную ей бесконечно малую функцию х. Теперь видно, что при х, близких к нулю, можно практически без потери в точности ограничиться первым членом разложения, т.е. sinx @ x.
Пример: Вычислить sin28013¢15¢¢.
|
|
|
Для того, чтобы представить заданный угол в радианах, воспользуемся соотношениями:
10 = 
; 280
;
1¢
; 
;
; 
;
рад
Если при разложении по формуле Тейлора ограничиться тремя первыми членами, получим: sinx = 
.
Сравнивая полученный результат с точным значением синуса этого угла,
sin
= 0,472869017612759812,
видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.
Функция f(x) = ln(1 + x).
Получаем: f(x) = ln(1 + x); f (0) = 0;
f¢(x) = 
; 
………………………………………
Итого: 
Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности. Ниже представлен пример вычисления натурального логарифма ln1,5. Сначала получено точное значение, затем – расчет по полученной выше формуле, ограничившись пятью членами разложения. Точность достигает 0,0003.
ln1,5 = 0,405465108108164381
Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.
Ниже будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов.
