Определитель Вронского

Пусть какие-либо (не обязательно линейно независимые) решения однородной системы где -матрица из непрерывных на отрезке функций. Вектор-функции запишем в виде столбцов:

Определителем Вронского (или вронскианом) однородной системы дифференциальных уравнений называется определитель

Этот определитель является функцией от дифференцируемой на интервале

Пусть дано линейное однородное дифференциальное уравнение -го порядка

где непрерывные на отрезке функции, и пусть какие-либо (не обязательно линейно независимые) решения этого уравнения. Определителем Вронского (или вронскианом) линейного однородного уравнения называется определитель

Выведем формулу дифференцирования определителя Вронского. Пусть решения системы и соответствующий им определитель Вронского. Тогда

т.е. где Так как решение системы, то поэтому -я строка матрицы определителя равна

Следовательно,

(в этой сумме все определители, кроме -го, равны 0, так как содержат одинаковые строки). Итак, Следовательно, Сумма диагональных элементов матрицы называется следом и обозначается Таким образом, Отсюда следует, что Решая это дифференциальное уравнение, получим: Константу можно найти, взяв Мы получим: Отсюда следует формула Лиувилля:

Так как никогда не обращается в 0, то мы получаем следующее свойство вронскиана: если определитель Вронского равен нулю в какой-нибудь точке, то он тождественно равен нулю:

Формулу Лиувилля для однородного уравнения

нетрудно получить, сведя уравнение к системе. В этом случае матрица системы имеет вид

Её след поэтому

Так же, как и в случае систем, определитель Вронского однородного уравнения либо не обращается в нуль ни в одной точке, либо тождественно равен нулю.

С помощью определителя Вронского можно определять, является ли данная система решений фундаментальной системой решений.

Теорема. Р ешения однородной системы дифференциальных уравнений является её фундаментальной системой решений в том и только том случае, если

Доказательство. Если не является фундаментальной системой решений, то функции линейно зависимы, поэтому для некоторых констант , не все из которых равны нулю. Следовательно, столбцы определителя Вронского линейно зависимы, а значит,

Наоборот, пусть Возьмём какое-нибудь Тогда мы получим линейно зависимые векторы Следовательно, для некоторых констант среди которых есть ненулевые. Функция является решением системы и удовлетворяет начальному условию Ввиду единственности решения а это означает линейную зависимость функций Следовательно, эти функции не образуют фундаментальную систему решений.

Аналогичный результат имеет место для однородных уравнений п -го порядка:

Теорема. Функции являющиеся решением уравнения образуют фундаментальную систему решений этого уравнения в том и только том случае, если