Формулу для определения угла закручивания определим из соотношения (4):
θ = dφ/dx = Mx/(G´Iкр)
Угол закручивания dφ элемента длиной dx, равен:
dφ = (Mx/(G´Iкр))´dx
Полный угол закручивания φ участка бруса длиной l:
Если на участке длиной l величины M, G и Iкр постоянны, то:
φ = (Mx´l)/(G´Iкр)
Величину GIp называют жесткостью сечения бруса при кручении. В случае, когда брус состоит из n участков с постоянными в пределах участка значениями Mx и GIp, тогда угол поворота определяют из соотношения:
Рассмотрим, как вычисляют геометрическую жесткость на кручение Iкр и момент сопротивления кручению Wкр кольцевого поперечного сечения. Для этого из сечения выделим кольцевой слой на расстоянии ρ от центра и толщиной dρ (рис. 3.39).
Рисунок 3.39
В этом случае:
dF =2π ρ dρ, тогда
В случае сплошного круглого сечения, при d=0:
Iкр≈0,1D4
Момент сопротивления кручению кольцевого сечения равен:
,
а для сплошного круглого сечения:
Wкр≈0,2D3
Пример 3.4
Ось поворота элерона представляет собой трубу, которая закреплена на трех шарнирных узлах. Диаметр трубы 30 ´10-3 м, толщина стенки 10-3 м. Труба выполнена из алюминиевого сплава с модулем упругости на сдвиг G =27,7´ 103 МПа. У среднего шарнирного узла к трубе прикреплена качалка с тягой управления. Схема элерона и схема его закрепления приведены на рисунке 3.40а. На рисунке 3.40б приведено распределение давления по хорде элерона. По размаху давление распределено равномерно. Удельное давление на поверхность элерона 2000 Н/м2. Определить максимальное касательное напряжение в трубе и угол поворота сечения трубы, в котором закреплена качалка, относительного концевого сечения.
|
|
Рисунок 3.40
Решение.
1. Аэродинамическая нагрузка пытается повернуть поверхность элерона относительно оси вращения, однако тяга управления, закрепленная в середине трубы, сопротивляется этому повороту, в результате чего в трубе возникают крутящие моменты. Суммарная аэродинамическая нагрузка p, действующая на 1 м длины элерона:
p = 2000 ´ 0,375 = 750 Н/м
Учитывая диаграмму распределения давления по хорде элерона, определим величину W из соотношения:
0,075´ W + 0,5 ´ W ´ 0,3 = 750, откуда
W» 3333,3 Н/м2
Усилие P1, действующее на носовую часть элерона, равна:
P1 = 0,075´ W = 0,075´3333,3 = 250 Н/м
Усилие P2, действующее на хвостовую часть элерона, равна:
P2 = 0,5 ´ W ´ 0,3 = 0,5´3333,3´ 0,3= 500 Н/м
Крутящий момент, действующий на единицу длины трубы m:
m = 250´0,375 - 500´0,1 = 43,75 Н м/м
Определим распределение крутящих моментов, максимальных касательных напряжений, относительных и абсолютных углов закручивания трубы.
2. Расчетная схема трубы приведена на рисунке 3.41а. На схеме:
|
|
M – сосредоточенный крутящий момент от тяги управления;
m – распределенный крутящий момент от аэродинамических нагрузок.
Рисунок 3.41
3. Действующие нагрузки вызывают в трубе крутящие моменты:
M1-2(x) = M2-3(x) = m x
Максимальный крутящий момент возникает в середине трубы:
Mmax = 0,725´ m = 0,725´43,75 = 31,7 кг м
Эпюра крутящих моментов приведена на рисунке 3.41б.
4. Момент сопротивления кручению трубы:
Wкр≈0,2(D3-d3) = 0,2×10-9 (303-283) = 1,46 10-6 м3
Максимальное касательное напряжение:
τmax 1-2(x) = τmax 2-3(x) = mx/ Wкр = (31,7/1,46 10-6) x = 21,7 x
τmax 1-2 (0,725)= 21,7´0,725 = 15,7 МПа
Эпюра максимальных касательных напряжений приведена на рисунке 3.41в.
5. Геометрический момент сопротивления кручению сечения трубы:
= 0,1×10-12 (304-284) = 1,95 10-8 м4
Относительный угол закручивания:
θ1-2(x) = θ2-3(x)=(m´x) /(G´Iкр) =(43,75´ x)/(27,7´109´1,95 10-8) =0,081´ x
θ1-2(0,725) = 0,081´0,725=0,059 рад/м
Эпюра относительных углов закручивания приведена на рисунке 3.41г.
6. Абсолютные углы поворота сечений:
Таким образом, угол закручивания середины трубы относительно концевого сечения:
j1-2(0,725) = 0,04´0,7252´(180/π)= 1,2 град
Эпюра углов поворота сечений приведена на рисунке 3.41д.