2014-02-02
2594
Глава 7. Статически определимые стержневые системы
Формула Ясинского-Тетмайера для определения критических напряжений
Применение подхода Кармана на практике требует знание диаграммы деформирования “ σ‑ε” для материала стержня сжатия, что осложняет ее применение. Поэтому для определения критических напряжений, превышающих предел пропорциональности, предпочитают пользоваться либо непосредственно экспериментальными данными, либо эмпирическими формулами. Наибольшее распространение получила линейная зависимость предположения Ясинским-Тетмайером:
σкр = a - bλ.
Зная σкр можно определить критическую нагрузку: Pкр = σкр F, где F - площадь сечения.
Формула справедлива для стержней средней гибкости, для которых гибкость находится в пределах λ0 ≤ λ≤ λпред. Для коротких стержней малой гибкости, у которых λ < λ0 величина критических напряжений равна предельному напряжению сжатия (пределу текучести σт сж для пластичных материалов, либо пределу прочности σв сж для хрупких материалов).
Для стержней большой гибкости λ> λпред расчет ведется по формуле Эйлера, поэтому зависимость σкр от λ гиперболическая: sкр =.
Изобразим графически зависимость критического напряжения sкр от гибкости λ (рис. 6.17).
Рисунок 6.17
Для стержней малой гибкости зависимость «σкр –λ» выражена горизонтальной прямой, для стержней средней гибкости - наклонной прямой, а для стержней большой гибкости – гиперболой Эйлера. Четкой границы между стержнями малой и средней гибкости провести невозможно. В расчетах принимают λ0 ≈ (0,2-0,4)λпред. Выбрав λ0 можно найти коэффициенты a и b в формуле Ясинского σкр = a + bλ, составляя уравнение прямой проходящей через две точки с координатами (λ0, sт сж) и (λпред, sпц):
Значения a и b для некоторых материалов приведены в таблице 6.3.
Таблица 6.3
| № | Материал | a, Н/мм2 | b, Н/мм2 | l0 | lпред |
| Сталь Ст.2 | 0,7 | ||||
| Сталь Ст.3 | 1,14 | ||||
| Стали Ст.4, Ст.20 | 1,15 | ||||
| Сталь Ст.45 | 1,67 | ||||
| Дуралюмин Д-16 | 1,83 |
В различного рода конструкциях (подмоторных рамах подвески двигателей, шасси, пространственных конструкциях крепления корпусов, отсеков) часто используют статически определимые стержневые системы. Основным свойством статически определимой стержневой системы является то, что она содержит минимально достаточное количество, как опорных элементов, так и достаточное число стержней, чтобы быть геометрически неизменяемой при действии нагрузки. Это означает, что при удалении хоть одного опорного элемента, или стержня из системы, система превращается в механизм и не может воспринимать действие нагрузки.
Стержневые системы являются статически определимыми, если усилия во всех сечениях их элементов и опорные реакции могут быть найдены из одних лишь уравнений равновесия.
Методы определения перемещений в стержневых системах основаны на принципе возможных перемещений, который был, вероятно, впервые, распространен на деформируемые тела С. Пуассоном в 1833 г. В этом случае он формулируется следующим образом: из всех возможных состояний равновесию системы, подверженной воздействию внешних сил, соответствует то, при котором полная энергия системы принимает стационарное значение. Использование этого вариационного принципа позволяет вывести теорему Ж. Лагранжа, согласно которой для линейных систем частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщенному перемещению равна соответствующей ему обобщенной силе. Вероятно, эту теорему было бы правильнее называть первой теоремой Коттерилла‑Кастильяно по именам Д. Коттерилла и А. Кастильяно. Д. Коттерилл еще до Кастильяно в 1865 г. опубликовал четыре работы, в которых установил сформулированную выше теорему, а также теорему о том, что для линейных систем частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна соответствующему этой силе обобщенному перемещению. В курсах сопротивления материалов эта теорема обычно называется теоремой Кастильяно, который доказал ее в дипломной работе, посвященной расчету ферм в Туринском политехническом институте в 1873 г. и опубликовал полученный результат на итальянском языке в 1875 г., а на французском‑в 1879 г.
Полученные результаты были использованы Кастильяно для определения лишних неизвестных в статически неопределимых фермах, а в дальнейшем обобщены им на упругое тело произвольной формы. Заметим, что еще до Кастильяно в 1857 г. Л. Менабреа, занимаясь расчетами статически неопределимых ферм, предложил определять лишние неизвестные, исходя из минимума потенциальной энергии деформации. Это положение получило название начала наименьшей работы. Статья Л. Менабреа на итальянском языке была опубликована в 1857 г., а на французском‑в 1858 г. Однако обоснование этого начала Менабреа не дал. Очевидно, что оно следует из второй теоремы Коттерилла—Кастильяно.
Из второй теоремы Коттерилла—Кастильяно обычно выводится очень удобная формула для определения перемещений в стержневых системах‑интеграл перемещений, который в курсах сопротивления материалов обычно называется интегралом Мора. Этот метод определения перемещений опубликован О. Мором в ряде статей в 1874 г. Для частного случая определения перемещений в фермах этот способ был предложен раньше в 1864 г. Д. Максвеллом. Поэтому интеграл перемещений следовало бы, вероятно, назвать интегралом Максвелла—Мора. Интеграл Максвелла—Мора для прямого стержня постоянного по перечного сечения может быть вычислен при помощи простого правила, предложенного А.К. Верещагиным в бытность им студентом Московского института инженеров транспорта в 1924 г.
