Энергетический метод определения критической нагрузки

Приближенная формула определения прогиба балки при продольно-поперечном изгибе

Упругую линию балки, подверженную одновременному действию продольной и поперечной нагрузки, представим приближенно в виде синусоиды:

а - максимальный прогиб,

n - число полуволн упругой линии балки,

l - длина балки.

Подставим это выражение в дифференциальное уравнение продольно-поперечного изгиба балки:

Интегрируя уравнение, получаем:

Заметим, что:

, а для поперечного изгиба:

, где

y_п(x) - прогиб балки только от поперечных нагрузок.

С учетом приведенных соотношений дифференциальное уравнение продольно‑поперечного изгиба балки принимает вид:

, откуда

Введем обозначение:

, тогда:

Пример 6.3

Балка, лежащая на двух шарнирных опорах, одна из которых подвижная, а другая неподвижная, сжимается силой S, приложенной с эксцентриситетом е (рис. 6.9). Изгибная жесткость балки EI_z. Определить прогиб в середине балки.

Решение.

1. Определим энергетическим методом прогиб балки в середине пролета при действии только поперечной нагрузки. Для этого рассмотрим нагружение балки изгибающим моментом Se, который возникает в результате действия продольной силы S, приложенной с эксцентриситетом e (рис. 6.10а). Построим эпюру изгибающих моментов (рис. 6.10б).

Рисунок 6.10

Приложим в середине пролета единичное усилие (рис. 6.10в) и построим эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки (рис. 6.10г).

Перемножим полученные эпюры по правилу Верещагина, получим значение прогиба в середине пролета от действия поперечной нагрузки y_п(l/2):

2. Определим критическую нагрузку по формуле Эйлера при n = 1.

3. Прогиб в середине балки при одновременном действии продольной и поперечной нагрузок.

2.4.2. Дифференциальное уравнение изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе балки

Как показано выше, изгибающий момент в продольном сечении балки при продольно-поперечном изгибе:

М_пп(х) = М_п(х) – S y(x)

Дифференцируя это выражение дважды и перенося слагаемое с y_пп(х) в левую часть, получим:

(1)

Учтем, что уравнение упругой линии при продольно‑поперечном изгибе:

а также, что для поперечного изгиба выполняются дифференциальные зависимости:

, тогда уравнение (1) принимает вид:

, где

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением для изгибающих моментов при продольно‑поперечном изгибе. Интегрируя уравнение, получим распределение изгибающих моментов непосредственно, минуя вычисление прогибов.

Суть метода заключается в составлении баланса потенциальной энергии и работы внешней нагрузки для криволинейной формы равновесия стержня.

Рассмотрим гибкий стержень, который нагружен осевой силой Р_кр и выведен поперечной силой из прямолинейного состояния (рис. 6.11). Если после снятия поперечной силы стержень сохранит устойчивую форму, то будем считать, что осевая нагрузка равна критической величине Р_кр.

Рисунок 6.11

Для деформированного состояния составим баланс энергии:

U = A, где:

U - потенциальная энергия стержня;

А - работа внешней нагрузки Р_кр.

Работа внешней нагрузки:

A=P_кр×Δ, где: (1)

Из рассмотрения рисунка можно видеть, что:

, откуда

Следовательно:

Выражение (1) для работы внешней нагрузки примет вид:

Потенциальная энергия стержня при его изгибе: