Нормальные усилия в стержнях статически неопределимой стержневой системы

Систему, усилия в стержнях которой невозможно определить из одних лишь уравнений равновесия, называют статически неопределимой. Степенью статической неопределимости называют разность между числом неизвестных усилий и числом всех независимых уравнений равновесия, которые для рассматриваемой стержневой системы можно составить. Для определения усилий в стержнях статически неопределимой системы составляют уравнение совместимости перемещений, которое дополняют систему уравнений равновесия. Составим уравнение совместимости перемещений на примере раскрытия статической неопределимости стержневой системы.

Рисунок 2.20

Пример 2.3

Для системы (рис. 2.20) заданы линейный размер a, усилие P,площади поперечных сечений стержней BC, AC и CD равными F, а площадь поперечного сечения стержня DE равной 2F. Модуль упругости материала стержней равен E. Необходимо определить осевые усилия N в стержнях системы.

Решение.

1 Удаляем опоры в узлах А, В, Е и заменяем их действие нормальными усилиями (рис. 2.21):

Рисунок 2.21

Составляем уравнение равновесия:

S x=N₄–N₁ cos45°+2P=0 (1)

S y=N₁ sin45°–N₂ sin45°=0 (2)

2. Вырежем узел D, действие отброшенных частей заменим нормальными усилиями (рис. 2.22):

Рисунок 2.22

Cоставляем уравнение равновесия:

S x=N₄–N₃+2P=0 (3)

Получили систему трех уравнений равновесия с четырьмя неизвестными усилиями, следовательно, стержневая система один раз статически неопределима.

3. Для составления недостающего уравнения совместимости перемещений, рассмотрим деформированное состояние системы (рис. 2.23).

Рисунок 2.23

В силу малости перемещений предполагаем, что угол между осью стержня 1 и осью стержня 3 не изменяется, тогда можно записать следующее уравнение совместимости перемещений:

Dl₁=(-Dl₄-Dl₃)cos45°, или

Dl₁=(-Dl₄-Dl₃)/Ö2 (4)

На основании закона Гука удлинение стержня определяется соотношением:

Dl=N l/E F, где

Dl – удлинение стержня;

N – нормальная сила;

l – длина стержня;

E – модуль упругости;

F – площадь поперечного сечения.

Следовательно можно записать:

Dl₁=N₁aÖ2/EF

Dl₃=N₃a/EF

Dl₄=N₄a/2EF

Подставим в уравнение совместимости (4), получим:

N₁aÖ2/EF=(-N₄a/2EF-N₃a/EF)/Ö2, или

4N₁+N₄+2N₃=0 (5)

Таким образом, получили четыре уравнения (1-3, 5) с четырьмя неизвестными:

N₄–N₁/ Ö2+ 2P=0

N₁Ö2–N₂Ö2 =0

N₄–N₃+2P =0

4N₁+N₄+2N₃=0

Решая систему уравнений, получим:

N₁=N₂=2P /(4+3Ö2)

N₃=2P(Ö2/(4+3Ö2))

N₄=-4P((2+Ö2)/(4+3Ö2))

Пример 2.4

Для системы (рис. 2.24а) заданы линейный размер a, площади поперечных сечений стержней АB и AD равными F, а площадь поперечного сечения стержня АС равной 2F. Модуль упругости материала стержней равен E. Необходимо определить монтажные усилия N в стержнях статически неопределимой системы, считая, что один из стержней на δ короче, чем это требуется по проекту.

Рисунок 2.24

Решение.

1 Удаляем опоры в узлах В, C, D и заменяем их действие нормальными усилиями (рис. 2.24б):

Составляем уравнение равновесия:

S x=-N₂–N₁ cos30°- N₃ sin30°=0 (1)

S y=N₁ sin30°–N₃ cos30°=0 (2)

Получили систему двух уравнений равновесия с тремя неизвестными усилиями, следовательно, стержневая система один раз статически неопределима.

2. Для составления недостающего уравнения совместимости перемещений, рассмотрим деформированное состояние системы (рис. 2.24в). Из треугольника АА`E можно записать следующее уравнение совместимости перемещений:

-Dl₃=(δ-Dl₂)sin30°, или

-Dl₃=(δ-Dl₂)/2 (3)

На основании закона Гука можно записать:

Dl₂=

Dl₃ =

Подставим в уравнение совместимости (3), получим:

=(δ-)/2, или

N₂ a-4N₃ a=2δEF (4)

Таким образом, получили три уравнения (1-2, 4) с тремя неизвестными:

-N₂–N₁ cos30°- N₃ sin30°=0

N₁ sin30°–N₃ cos30°=0

N₂ a-4N₃ a=2δEF