Критерий максимальных касательных напряжений (Tresca)

Критерий максимальной главной деформации (St. Venant)

Так как экспериментальные исследования довольно часто не подтверждали критерий Renkina, поэтому St. Venant предложил критерий максимальной главной деформации. Критерий предполагает, что текучесть наступит при достижении деформации в направлении действия максимального главного напряжения σ₁ величины деформации образца материала, подверженного действию одноосного напряжения равного пределу текучести σ_т.

Следовательно, условия текучести можно записать:

Таким образом, условие текучести имеет вид:

Эквивалентные напряжения:

При двухосном напряженном состоянии σ₃ = 0, следовательно, условия текучести принимают вид:

Этим критерием пользуются редко, так как во многих случаях сложного напряженного состояния он не согласуется с экспериментом.

1.3 Критерий суммарной энергии деформации (Beltramy & Haigh)

Критерий предполагает, что текучесть наступит, когда энергия деформации u в единице объема, в окрестности наиболее нагруженной точки, достигнет величины, соответствующей энергии деформации u_то в единице объема образца, выполненного из того же материала при одноосном растяжении до предела текучести. Следовательно, условие текучести принимает вид:

u = u_то (1)

Суммарная энергия деформации в единице объема при трехосном напряженном состоянии и упругом деформировании:

Учитывая, обобщенный закон Гука:

, получим:

(2)

При одноосном растяжении образца до предела текучести σ₁ = σ_тр, σ₂ = σ₃ = 0. Подставим эти значения в соотношение (2), получим:

(3)

Подставим выражения (2) и (3) в соотношение (1), получим условие текучести:

σ₁² + σ₂² + σ₃² - 2μ(σ₁σ₂ + σ₂σ₃ + σ₂σ₃) = σ_тр²

Эквивалентное напряжение:

При двухосном напряженном состоянии σ₃ = 0, следовательно, условие текучести принимает вид:

σ₁² + σ₂² - 2μσ₁σ₂ = σ_тр²

Предыдущие три критерия не согласуются с экспериментом при всестороннем (гидростатическом) растяжении или сжатии. В случае всестороннего растяжения, т.е. при σ₁ = σ₂ = σ₃ = p:

а) по критерию максимальных главных напряжений текучесть наступит при p = σ_тр;

б) по критерию максимальной главной деформации текучесть наступит при;

в) по критерию суммарной энергии деформации текучесть наступит при.

Эксперименты показывают, что образец хрупкого или пластичного материала, подверженного действию всестороннего растяжения (сжатия), не теряет упругих свойств до значений p значительно превышающих величин, вычисленным по приведенным соотношениям. Это противоречие позволило предположить, что не наступает при всестороннем растяжении (сжатии) из-за отсутствия касательных напряжений τ. Исходя из этого, можно предположить, что текучесть наступает при условии изменения формы объемом материала, а это возможно при действии касательных напряжений.

Итак, критерий максимальных касательных напряжений предполагает, что текучесть наступит, когда максимальное касательное напряжение в элементе конструкции τ_max достигнет предела текучести материала при растяжении τ_mр, т.е. условие текучести можно записать в виде:

τ_max = τ_mр (1)

Учитывая, что и приняв условие текучести (1) принимает вид:

σ₁ – σ₃ =σ_тр

Эквивалентное напряжение:

σ_экв=σ₁ – σ₃

При двухосном напряженном состоянии σ₃ = 0, следовательно, условие текучести принимает вид:

σ₁- σ₂ = σ_тр (2)

При одновременном нагружении бруса изгибом, кручением, растяжением или сжатием в поперечных сечениях возникают как нормальные, так и касательные напряжения. В соответствии с теорией максимальных касательных напряжений можно ожидать, что текучесть наступит на площадке, на которой действуют максимальные касательные напряжения τ_max. При действии нормальных напряжений σ и касательных напряжений τ_max главные напряжения:

(3)

Подставим выражение (3) в соотношение (2) после преобразований получим условие текучести для бруса:

Эквивалентное напряжение:

σ_экв =

1.5 Критерий энергии деформации сдвига (Hencky & VonMises)

Критерий максимальных касательных напряжений основывается на предположении, что. При испытании образцов материала на кручение получено: τ_тр = 0,577σ_тр. Это показывает, что критерий максимальных касательных напряжений не достаточно точен, кроме того, в нем не учитывается действие σ₂ и μ.

Критерий энергии сдвига предполагает, что текучесть наступит, когда в единице объема элемента конструкции энергия сдвига u_с достигнет величины энергии сдвига u_со, которая достигается в образце из того же материала, что и элемент конструкции при его одноосном растяжении до предела текучести.

Таким образом, условие текучести можно записать:

u_с = u_со (1)

Энергию деформации сдвига u_с вычислим как разность суммарной энергии деформации u и энергии деформации u_p, вызванной всесторонним растяжением средним (гидростатическим) напряжением:

u_с = u - u_p (2)

Суммарная энергия деформации в единице объема:

(3)

Подставим в выражение (3) значение p, получим выражение энергии деформации, вызванной всесторонним растяжением:

(4)

Подставим (3) и (4) в соотношение (2) и учитывая, что, после преобразований получив выражение энергии деформации сдвига:

(5)

Так как при одноосном растяжении образца до предела текучести σ₁ = σ_тр, σ₂ = σ₃ =0, то подстановкой σ₁, σ₂, σ₃ в выражение (5) получим энергию деформации сдвига:

(6)

Подставим выражения (5) и (6) в соотношение (1) после преобразований получим условие текучести:

Эквивалентное напряжение:

σ_экв =

При двухосном напряженном состоянии σ₃ = 0, следовательно, условие текучести принимает вид:

(7)

Учитывая, что для бруса в опасном сечении действуют нормальных напряжений σ и касательных напряжений τ_max, тогда главные напряжения:

(8)

Подставим выражение (8) в соотношение (7) после преобразований получим условие текучести для бруса:

Эквивалентное напряжение для бруса:

σ_экв =