Последовательность решения статически неопределимых задач

Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.

1. Устанавливается степень статической неопределимости системы как разность между числом искомых неизвестных усилий и числом независимых уравнений равновесия. При этом учитывается, что простой шарнир, соединяющий два стержня системы, уменьшает степень статической неопределимости на единицу, так как снимает одну связь, препятствующую повороту одной части системы относительно другой. Тем самым простой шарнир позволяет добавить к уравнениям равновесия всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы. Шарнир, связывающий n (три и более) частей системы, играет роль n -1 простых шарниров и поэтому снижает степень статической неопределимости на n -1 единиц.

2. Из заданной статически неопределимой системы выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.

В качестве лишних могут быть выбраны различные связи. Поэтому для одной и той же статически неопределимой системы можно получить сколько угодно основных систем. Но любая основная система должна быть обязательно геометрически неизменяемой и статически определимой.

Геометрически неизменяемой называется система, перемещения точек которой возможны лишь как следствие деформаций системы. Нельзя выбирать в качестве основной мгновенно геометрически изменяемую систему, потому что в такой системе при любой сколь угодно малой нагрузке усилия получаются бесконечно большими или неопределенными. При выборе основной системы для симметричных стержневых систем применяют свойства симметрично и кососимметрично нагруженных систем.

3. Строят соответствующую выбранной основной эквивалентную систему, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении прикладывают силы Х_i, если связи препятствовали линейному перемещению, и пары Х_к, если они исключали повороты сечений.

4. Составляют канонические уравнения метода сил:

δ_1P + δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + δ₁₃X₃ +……. δ_1nX_n = 0

δ_2P + δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + δ₂₃X₃ +……. δ_2nX_n = 0

…………………………………………….

δ_nP + δ_n1X₁ + δ_n2X₂ + δ_n3X₃ +…… δ_nnX_n = 0

Число уравнений равно числу искомых неизвестных.

5. Вычисляют коэффициенты канонических уравнений аналитически по формуле Мора:

,

или перемножением эпюр по способу Верещагина. Для этого строятся в основной системе эпюры внутренних силовых факторов отдельно от заданной нагрузки и всех единичных усилий, приложенных вместо X₁, Х₂,..., Х_n. Индексы у коэффициента δ_ik указывают на номера эпюр, которые надо перемножить при его вычислении, или номера внутренних силовых факторов, которые надо подставить в интеграл Мора.

6. Решают систему канонических уравнений и определяют величины искомых силовых факторов X₁, Х₂, Х₃,..., Х_n.

7. Определяются окончательные значения внутренних силовых факторов в сечениях эквивалентной системы путем алгебраического суммирования значений от каждой из нагрузок в отдельности:

Ф_S = Ф_P + Ф₁X₁ + Ф₂ Х₂……….Ф_n X_n

где Ф_S - искомый силовой фактор (изгибающий или крутящий момент, нормальная или перерезывающая сила в рассматриваемом сечении);

Ф_P - аналогичный силовой фактор от одной только внешней нагрузки;

Ф_i - аналогичный силовой фактор от единичного усилия, приложенного вместо Х_i.

Таким образом, при построении суммарных эпюр силовых факторов (изгибающих и крутящих моментов и т. д.) их ординаты находятся алгебраическим суммированием ординат ранее построенных эпюр тех же факторов от заданных нагрузок и единичных эпюр, увеличенных в X_i раз.

8. Так как сечения заданной системы в опорах не перемещаются, то произведение суммарной эпюры на любую единичную эпюру должно быть равно нулю. На этом свойстве основывается проверка правильности вычисления неизвестных X_i при раскрытии статической неопределимости и построении суммарных эпюр. Следовательно, поскольку абсолютные или относительные перемещения сечений в направлении усилий X_i отсутствуют, то произведение каждой из единичной эпюр на суммарную должно быть равно нулю.

Рассмотрим примеры раскрытия статической неопределимости плоских рам.

Пример 8.1

Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры изгибающих моментов, перерезывающих сил и нормальных сил для рамы, приведенной на рисунке 8.14.

Рисунок 8.14

Решение.

1. Число внешних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×1 - 2×0 - 5= -2

Следовательно, заданная рама внешне дважды статически неопределима.

2. Построим основную систему (рис. 8.15) путем удаления внешней нагрузки и двух избыточных опорных связей в правой шарнирной опоре.

Рисунок 8.15

3. Построим эквивалентную систему (рис. 8.16) путем добавления к основной системе внешней нагрузки и неизвестных усилий X₁, X₂, которые заменяют действие удаленных связей и препятствуют линейным перемещениям сечений рамы в заделке. На схеме пронумеруем характерные сечения.

Рисунок 8.16

4. Запишем два канонических уравнения, для определения неизвестных усилий X₁, X₂:

δ_1P + δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ = 0

δ_2P + δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ = 0

5. Для определения коэффициентов канонических уравнений δ_ik,δ_iP строим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки и от единичных усилий, поочередно приложенных к опорному сечению 1 и направленных по направлению неизвестных усилий X₁, X₂.

а) Прикладываем к основной системе только внешнюю нагрузку (рис. 8.17а) и строим от нее эпюру изгибающих моментов (рис. 8.17б).

Рисунок 8.17

б) Прикладываем к основной системе единичное усилие в направлении X₁ (рис. 8.18а) и строим от него эпюру изгибающих моментов (рис. 8.18б).

Рисунок 8.18

в) Прикладываем к основной системе единичное усилие в направлении X₂ (рис. 8.19а) и строим от него эпюру изгибающих моментов (рис. 8.19б).

Рисунок 8.19

6. Так как эпюры от единичных усилий линейные зависимости, то коэффициенты канонических уравнений вычислим способом Верещагина. Перемножая эпюры согласно индексам коэффициентов, определим:

7. Система канонических уравнений принимает вид:

3X₁ – 2X₂ +(1/6)qa = 0

-2X₁ + (32/3)X₂ –(7/24)qa = 0,

откуда X₂ ≈ 0,02qa, X₁ ≈= -0,13qa

8. Вычислим изгибающий момент в произвольном сечении рамы, как алгебраическую сумму изгибающего момента от внешних нагрузок M_P (рис. 8.17б), изгибающего момента M₁ (рис. 8.18б), увеличенного в X₁ раз, и изгибающего момента M₂ (рис. 8.19б), увеличенного в X₂ раз. В результате изгибающий момент в характерных сечениях равен:

M₁ = 0,

M₂ = 1a × (-0,13)qa = -0,13qa²,

M₃ = -(1/2)qa² + 1a×(-0,13)qa – 1a×0,02qa = -0,65qa²

M₃ = (1/2)qa² + 1a×(-0,13)qa – 1a×0,02qa = 0,35qa²

M₄ = 1a×(-0,13)qa – 2a×0,02qa = -0,17qa²

M₅ = -1a×(-0,13)qa – 2a×(0,02)qa = 0,09qa²

M₆ = - qa² = -qa²

9. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 8.20).

Рисунок 8.20

Пример 8.2

Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры изгибающих моментов, перерезывающих сил и нормальных сил для рамы, приведенной на рисунке 8.21.

Рисунок 8.21

Решение.

1. Число внешних степеней свободы:

n = 3d – 2s – c₀ = 3×0 - 2×0 - 3= -3

Следовательно, заданная рама внутренне три раза статически неопределима, но условия косой симметрии позволяют сократить число неизвестных до одного.

2. Разрежем раму по оси симметрии. Полученная основная система приведена на рисунке 8.22.

Рисунок 8.22

3. В сечении действует только один кососимметричный силовой фактор (перерезывающая сила), так как внешняя нагрузка кососимметрична. Построим эквивалентную систему (рис.8.23) путем добавления к основной системе внешней нагрузки и неизвестного усилия X, которым заменяют действие удаленной связи, препятствующей взаимному линейному перемещению сечений рамы.

Рисунок 8.23

4. Запишем каноническое уравнение, для определения неизвестного усилия X:

δ_1P + δ₁₁X = 0

5. Для определения коэффициентов канонических уравнений δ_ik,δ_iP строим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки и от единичных усилий.

а) Прикладываем к основной системе только внешнюю нагрузку (рис. 8.24а) и строим от нее эпюру изгибающих моментов (рис. 8.24б).

Рисунок 8.24

б) Прикладываем к основной системе единичное усилие в направлении X₁ (рис. 8.25а) и строим от него эпюру изгибающих моментов (рис. 8.25б).

Рисунок 8.25

6. Перемножая эпюры согласно индексам коэффициентов, определим:

7. Каноническое уравнение принимает вид:

9,78X - (11/3)qa = 0, откуда

X = 0,37qa

8. Вычислим изгибающий момент в произвольном сечении рамы, как алгебраическую сумму изгибающего момента от внешних нагрузок M_P (рис. 8.24б) и изгибающего момента M₁ (рис. 8.25б), увеличенного в X раз. В результате изгибающий момент в характерных сечениях равен:

M₁ = 0,

M₂ = -1a × 0,37qa = -0,37qa²,

M₃ = 2qa² – 1a×0,37qa = 1,63qa²

M₄ = -2qa²

9. Строим эпюру изгибающих моментов (рис. 8.26).

Рисунок 8.26