Основные соотношения для общего и раздельного резервирования
Параллельной называется система, которая сохраняет свою работоспособность до тех пор, пока работоспособен хотя бы один ее элемент. Предполагается, что все элементы находятся во включенном состоянии с самого начала.
В инженерной практике такой резерв называют нагруженным или горячим. Параллельная система, состоящая из n элементов, описывается при помощи блок-схемы надежности, представленной на рис. 1б.
В каждый момент времени функции системы выполняются основным элементом, а в случае его отказа происходит мгновенное переключение на любой из исправных к данному моменту резервных элементов.
Булева функция, удовлетворяющая этому требованию, имеет вид
или
Вероятность безотказной работы невосстанавливаемой системы, состоящей из n параллельно включенных элементов, определяется через вероятность дополнительного события. Параллельно соединение элементов неработоспособно тогда, когда произошел отказ всех элементов.
|
|
Воспользовавшись правилом де Моргана, можно записать удобное выражение для структурной функции параллельной системы:
из которого следует выражение для ВБР в виде
Формула (2.25) имеет простое физическое объяснение: система отказывает при отказе всех ее элементов, а ВБР находится как вероятность дополнительного события.
Отметим следующие свойства параллельной системы:
с увеличением числа элементов системы ее надежность при прочих равных условиях повышается;
надежность системы в целом всегда выше, чем надежность любого из ее элементов (в том числе и наилучшего).
Таким образом:
Вероятность отказа системы
Q C(t) = q 1(t) q 2(t)… qn (t) = (1– p 1(t))(1– p 2(t))…(1– pn (t)), | (3.1) |
где qi (t) – вероятность отказа, а рi (t) – вероятность безотказной работы элемента i в течении времени t (i =1, 2, …, n).
Вероятность безотказной работы системы
P C(t)= 1 – Q C(t) = 1 – (1– p 1(t))(1– p 2(t))…(1– pm (t)). | (3.2) |
Учитывая, что плотность отказов f (t) = dQ (t)/ dt, тогда
f с(t) = f 1(t) q 2(t)… qn (t)+ q 1(t) f 2(t) q 3(t)… qn (t) + … + q 1(t) q 2(t)… qn -1(t) fn (t). | (3.3) |
Интенсивность отказов системы λс(t)
.
Отказ системы наступает при отказе элемента с максимальным временем наработки до отказ t С= mах (t 1, t 2, …, tn).