Примерный план лекции №12 и основные определения

План

Темы: Выбор в условиях неопределенности.

Примерный план лекции №12 и основные определения.

1. Выбор в условиях неопределенности: лотереи, отношение к риску, функция ожидаемой полезности, денежный (гарантированный) эквивалент лотереи.
2. Приложения теории ожидаемой полезности: модель формирования портфеля инвестиций.
3. Модель с контингентными благами.

Основные определения и утверждения

Пусть - множество возможных исходов. Простой лотереей будем называть набор вероятностей , где – вероятность исхода и. Обозначим множество простых лотерей через .

Определение. Предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности, если каждому исходу можно присвоить число таким образом, что для любых двух лотерей и: равносильно .

Функция U называется функцией ожидаемой полезности или функцией полезности Неймана-Моргенштерна (von Neumann-Morgenstern).

Функцию принято называть элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли (будем считать ее непрерывной и возрастающей).

Утверждение (Единственность функции ожидаемой полезности).Если функция – функция ожидаемой полезности, представляющая предпочтения, определенные на , то - другая функция ожидаемой полезности, отражающая те же предпочтения на тогда и только тогда, когда существуют числа и такие, что для любой лотереи .

Определение. Будем говорить, что индивид не склонен к риску, если любая лотерея для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи, , полученного с определенностью. Если потребитель строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее, то говорят, что он строго не склонен к риску или рискофоб.

Будем говорить, что индивид нейтрален к риску, если он безразличен между лотереей и ее ожидаемым выигрышем, полученным с определенностью.

Будем говорить, что индивид склонен к риску, если предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, то говорят, что он строго склонен к риску или рискофил.

Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то несклонность к риску означает вогнутость элементарной функции полезности (для рискофоба – строгую вогнутость); склонность к риску эквивалентна выпуклости элементарной функции полезности (для рискофила – строгой выпуклости); у нейтрального к риску индивида элементарная функция полезности линейна.

Определение. Денежным (гарантированным) эквивалентом лотереи будем называть сумму денег (полученную с определенностью), которая приносит индивиду такую же полезность, что и данная лотерея: .

Задача формирования оптимального портфеля инвестиций (из двух активов: рискового и безрискового). Пусть индивид решает, как ему распределить свое богатство между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 рубль в этот актив, он получит рубль обратно без какого-либо дополнительного дохода. Вложив 1 рубль во второй актив, можно получить с вероятностью и с вероятностью , где , , . Будем считать, что предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности. Тогда для индивида-рискофоба условие является необходимым и достаточным условием положительного спроса на рисковый актив.

Определение. Назовем контингентным благ ом право (контракт) на получение -го физического блага в количестве в случае реализации состояния природы .