2014-02-02
2468
План
Темы: Выбор потребителя в условиях неопределенности
- Денежные лотереи и представление предпочтений на лотереях функцией ожидаемой полезности; единственность функции ожидаемой полезности с точностью до положительного линейного преобразования.
- Отношение к риску; денежный эквивалент лотереи и премия за риск.
- Модель спроса на рисковый актив или задача формирования оптимального портфеля инвестиций.
1. Пусть 
- множество возможных исходов (будем рассматривать денежные исходы). Простой лотереей будем называть набор вероятностей 
, где 
– вероятность исхода 
и
. Обозначим множество простых лотерей через 
.
Определение. Предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности, если каждому исходу можно присвоить число 
таким образом, что для любых двух лотерей и
: 
равносильно 
.
Функция U, определенная на лотереях, называется функцией ожидаемой полезности или функцией полезности Неймана-Моргенштерна (von Neumann-Morgenstern).
Функцию 
, определенную на денежных суммах, принято называть элементарной функцией полезности или функцией полезности Бернулли (будем считать ее непрерывной и возрастающей).
Утверждение (Единственность функции ожидаемой полезности).Если функция 
– функция ожидаемой полезности, представляющая предпочтения, определенные на , то 
- другая функция ожидаемой полезности, отражающая те же предпочтения на тогда и только тогда, когда существуют числа 
и 
такие, что 
для любой лотереи 
.
2. Определение. Будем говорить, что индивид несклонен к риску, если любая лотерея 
для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи, 
, полученного с определенностью. Если потребитель строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее, то говорят, что он строго несклонен к риску или рискофоб.
Будем говорить, что индивид нейтрален к риску, если он безразличен между лотереей и ее ожидаемым выигрышем, полученным с определенностью.
Будем говорить, что индивид склонен к риску, если предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, то говорят, что он строго склонен к риску или рискофил.
Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то несклонность к риску означает вогнутость элементарной функции полезности (для рискофоба – строгую вогнутость); склонность к риску эквивалентна выпуклости элементарной функции полезности (для рискофила – строгой выпуклости); у нейтрального к риску индивида элементарная функция полезности линейна: 
, где 
.
Определение. Денежным (гарантированным) эквивалентом лотереи будем называть сумму денег 
(полученную с определенностью), которая приносит индивиду такую же полезность, что и данная лотерея: 
.
Премия за риск – максимальная сумма денег, от которой индивид готов отказаться, чтобы не участвовать в риске: 
.
Утверждение: Для индивида-рискофоба для любой лотереи выполнено: 
(т.е. он любую лотерею оценивает в сумму меньшую ее ожидаемого выигрыша).
3. Задача формирования оптимального портфеля инвестиций (из двух активов: рискового и безрискового). Пусть индивид-рискофоб решает, как ему распределить свое богатство 
между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 рубль в этот актив, он получит 
рублей. Вложив 1 рубль во второй актив, можно получить 
с вероятностью 
и 
с вероятностью 
, где 
, 
, 
. Будем считать, что предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности, 
и 
для любого 
.
Обозначим через 
вложения в безрисковый актив, 
– вложения в рисковый актив, 
. Тогда в «хорошем» состоянии природы (которое наступает с вероятностью ) индивид будет иметь сумму денег 
, а в «плохом» его богатство составит 
.
Задача индивида выбрать такой уровень инвестиций в рисковый актив 
, который является решением задачи максимизации ожидаемой полезности:
.
Условия первого порядка этой задачи (необходимые и достаточные в силу строгой вогнутости функции полезности рискофоба):
при 
при 
при 
.
Утверждение: Для индивида-рискофоба условие 
является необходимым и достаточным условием положительности спроса на рисковый актив.
