Пусть произведено измерение некоторой величины х. Обозначим результат измерения xизм. Абсолютная погрешность измерения равна
Dx = xизм – x.
Погрешность Dx является случайной величиной и может быть представлена в виде суммы математического ожидания mDx и центрированной случайной величины:
.
Неслучайную составляющую mDx называют систематической погрешностью, а центрированную случайную величину - случайной погрешностью.
Если систематическая погрешность mDx известна, то результат измерения можно исправить, введя поправку:
хиспр = хизм - mDx.
Аналогично исправить случайную погрешность не представляется возможным, так как конкретное значение этой погрешности в каждом измерении неизвестно. Случайная погрешность может быть проанализирована вероятностными методами. Влияние случайной погрешности на результат измерения может быть оценено следующим образом. Задаются некоторыми предельными значениями погрешностей D1 и D2 и находят вероятность того, что измеряемая величина находится в интервале [ хизм -D1 ; хизм + D2 ]. Этот интервал называется доверительным, а вероятность того, что измеряемая величина находится внутри этого интервала – доверительной вероятностью РД.
|
|
В том случае, когда случайная погрешность распределена по нормальному закону часто доверительный интервал представляют в симметричной форме:
где z=D/s, Ф(z1) – интеграл вероятности, обычно определяемый по таблицам. На рис. 7.3. показана зависимость интеграла вероятности от соотношения между текущей погрешностью D и ее средним квадратическим значением s. Погрешность, интеграл вероятности которой равен 0,5 называют вероятной погрешностью r. Для этой погрешности характерно то, что при повторных измерениях примерно в половине случаев фактическая погрешность будет меньше r, а в другой половине случаев – больше или равна r. Значение вероятной ошибки r =0,6745 s. Из рис.7.3. видно, что по мере роста аргумента D/s интеграл вероятности быстро приближается к единице. Другими словами, по мере расширения доверительного интервала вероятность того, что случайная погрешность не превысит этот интервал, быстро падает. Так, вероятность того, что погрешность измерения не превысит 2 s, равна 0,954. То есть из тысячи измерений только в 46 случаях погрешность превысит 2 s. Аналогично, только в 3-х случаях погрешность превысит 3 s. Такое событие можно считать весьма маловероятным. Доверительная погрешность, равная 3 s, называется граничной. Если в ряду измерений встречают погрешность D> 3 s, то такое измерение полагают промахом и в дальнейшей обработке результатов измерений не учитывают. Этот критерий известен как “ правило 3s “. В теории вероятностей и математической статистике находит применение также термин “ а%-ный квантиль” – такая абсцисса функции распределения плотности вероятности, слева от которой находится а% площади под графиком этой функции. Другими словами, вероятность Ра% того, что случайная погрешность D < Dа%, равна а%. Интерквантильным промежутком называют разность между а%-ным и (100 - а)%-ным квантилями.
|
|
Нормальное распределение является часто встречающимся, но единственным в метрологии и измерительной технике. Находят также равномерное распределение:
По этому закону распределяются погрешности от трения в опорах стрелочных приборов, погрешности округления, погрешности отсчета результата по шкале прибора. Дисперсия равномерного распределения равна а2/12.
Треугольный закон распределения:
По преугольному закону распределяется сумма двух случайных величин, каждая из которых распределена равномерно.