Пуассоновские потоки событий и
Рассмотрим некоторую физическую систему S={S1,S2,…Sn}, которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий (вызовы, отказы, выстрелы). Будем себе это представлять так, будто события, переводящие систему из состояния в состояние, представляют собой какие-то потоки событий.
Пусть система S в момент времени t находится в состоянии Si и может перейти из него в состояние Sj под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с интенсивностью lij: как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит из Si в Sj. Как мы знаем, вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени (элемент вероятности перехода) равна , отсюда вытекает, что плотность вероятности перехода lij в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность потока событий, переводящих систему по соответствующей стрелке. Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние пуассоновские, то процесс, протекающий в системе, будет марковским.
|
|
Проставим интенсивности пуассоновских потоков (плотности вероятностей переходов) на графе состояний системы у соответствующих стрелок. Получим размеченный граф состояний. На его основе можно написать уравнения Колмогорова и вычислить вероятности состояний.
Пример. Техническая система S состоит из двух узлов I и II, каждый из которых независимо от другого может отказывать. Поток отказов первого узла пуассоновский с интенсивностью lI, второго также пуассоновский с интенсивностью lII. Каждый узел сразу после отказа начинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановлений (окончаний ремонта узла) для обоих узлов – пуассоновский с интенсивностью l. Составить граф состояний системы и написать уравнение Колмогорова. Состояния системы: S11 - оба узла исправны; S21 – первый узел ремонтируется, второй исправен; S12, S22.
t=0 p11=1 p21=p22=p12=0
p11+p12+p21+p22=1.