2014-02-02
693
Решение многих задач упрощается, если использовать символический метод расчёта.
Хевисайд (1850-1925) в качестве символа предложил оператор дифференцирования 
, его размерность 
. Заметьте, что такую же размерность имеет и угловая частота 
.
Фурье (1768-1830) предложил периодическую функцию, изменяющуюся во времени, раскладывать вряд (ряд Фурье). Для периодических функций, изменяющихся с определённой угловой частотой , он ввёл понятие изображения:
(1)
Здесь, в первом уравнении с помощью оператора 
выполняется переход от оригинала 
к изображению 
, а во втором уравнении выполняется обратный переход. Оператор зависит от частоты и имеет размерность . Это уже не оператор дифференцирования.
Лаплас (1749-1827) предложил рассматривать поведение переменных САУ в частотной области. Предполагается, что на вход системы подаётся гармонический сигнал. Он ввёл своё понятие частотного изображения:
(2)
Здесь 
- изображение рассматриваемой переменной , 
- оператор, представляющий собой комплексное число. Вещественная часть с- абсцисса абсолютной сходимости, - угловая частота в рассматриваемой области. Размерность , то есть такая же, как и у оператора дифференцирования (Хевисайда) и у оператора Фурье. Преобразования (2) справедливы только при нулевых начальных условиях, то есть 
при t < 0.
|
|
|
В отличие от преобразования Фурье (1) здесь изображение функции времени является функцией не частоты, а комплексного оператора р. Но оказывается, что, для большинства функций из области ТАУ действительная часть оператора р равна нулю, то есть с= 0. Поэтому принимают 
. В этом случае преобразования Фурье и Лапласа формально совпадают, а сущность явлений разная. Решаемые задачи тоже разные.
В задачах электротехники при расчетах переходных процессов используют преобразование Карсона – Хевисайда, которое отличается от преобразования Лапласа (2) дополнительным умножением на величину р:
(3)
Таким образом, между преобразованиями Лапласа и Карсона – Хевисайда существует соотношение
. (4)
Основное достоинство преобразований Фурье, Лапласа и Карсона – Хевисайда заключается в том, что операции дифференцирования и интегрирования оригинала заменяются алгебраическими действиями по отношению к изображениям.
Преобразования Лапласа очень удобны при анализе и синтезе САУ. Математическое описание становится компактным, его обычно представляют в виде структурных схем. Эти схемы можно преобразовывать к нужному виду и с их помощью удаётся получать процессы с желаемым качеством.
Преобразования Карсона – Хевисайда удобны при расчёте переходных процессов.
