Принцип оптимальности

Метод динамического программирования.

Рассмотрим систему

(4.1)

и функционал

(4.2)

который требуется минимизировать. Правый конец фазовых координат является свободным.

Наряду с этой вариационной задачей рассмотрим вспомогательную, когда процесс рассматривается в интервале и минимизируется функционал

. (4.3)

Пусть сначала найден минимум J (4.2) и соответствующее ему оптимальное управление (рис. 1а):

(4.4)

а потом – минимум (4.3) и оптимальное управление (рис. 1б):

. (4.5)

В последнем случае предполагается, что в момент процесс начинается с состояния , достигнутого к моменту времени при оптимизации процесса в интервале .

Вообще говоря, управления и отличаются интервалом и значениями. Принцип оптимальности утверждает, что оптимальные управления и в общей части интервала совпадают, не зависимо от предыстории процесса и вполне определяются состоянием в момент .

В случае со свободным правым концом принцип оптимальности доказывается. В самом деле, допустим, что на участке управления и не совпадают и

. (4.6)

Рис. 1 а Рис.1 б

Тогда для первой задачи введем управление

(4.7)

и вычислим функционал

При управлении u (4.7) функционал(4.2) принимает меньшее значение, чем при (4.4). Но управление является оптимальным. Поэтому допущение (4.6) неверно.

A предположение

противоречит тому, что - управление, минимизирующее (4.3).

Таким образом, остается, что

,

и если оптимальное управление единственное, то

.

Кратко принцип оптимальности можно сформулировать так: последний участок оптимальной траектории является оптимальным независимо от предыстории процесса.