Напряжения на наклонных площадках

Элементарный объём в форме параллепипеда, связанный с системой координат таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной плоскостью (рис.21).

Рис. 21

Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали n с направляющими косинусами l, m, n. На наклонной площадке площадью dF действует полное напряжение Р с проекциями по осям Р_х, Р_у, Р_z. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке - s_n и t_n. Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади:

dF_x = dF×l, dF_y = dF×m, dF_z = dF×n.

Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х:

SХ = 0,

P_x×dF - s_x×dF_x - t_yx×dF_y - t_zx×dF_z = 0,

P_x×dF - s_x×dF×l - t_yx×dF×m - t_zx×dF×n = 0,

P_x = s_x×l + t_yx×m + t_zx×n. (31)

Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси Y и Z, получаем выражения для двух других проекций полного напряжения:

P_y = t_xy×l +s_y×m + t_zy×n,

P_z = t_xz×l + t_yz×m +s_z×n. (32)

Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем проекции полного напряжения на нормаль.

s_n = P_x×l + P_y×m + P_z×n =

= s_x×l² + t_yx×m×l + t_zx×n×l + t_xy×l×m +s_y×m² + t_zy×n×m + t_xz×l×n + t_yz×m×n +s_z×n²

С учетом закона парности касательных напряжений - (29) и (30), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений:

s_n = s_x×l² + s_y×m² +s_z×n² + 2t_yx×m×l + 2t_zx×n×l + 2t_zy×n×m (33)

Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке:

Р² = P_x² + P_у²+ P_z² = s_n² + t_n²,

t_n²= P_x² + P_у²+ P_z² - s_n². (34)