Математическая модель механики твердо деформируемого тела

Полная математическая модель механики твердо деформированного тела состоит из трех частей: уравнения равновесия, геометрические соотношения и физические соотношения. Рассмотрим каждую из частей более подробно.

I. Уравнения равновесия.

В твердо деформированном теле выберем некоторую точку А с координатами (x,y,z). Вблизи этой точки вырежем объем dV = dxdydz. На каждой грани вырезанного элемента действует по три напряжения: одно нормальное и два касательных (рис. 29). Кроме этого на элементарный объем действуют массовые силы R(X, Y, Z).

Рис. 29

Так как все тело находится в равновесии, то в равновесии находится и элементарный объем и, следовательно, можно составить три уравнения равновесия сил в проекциях на оси координат. Напомним, что для того чтобы получить силу, необходимо умножить напряжение на площадь грани, на которой оно действует.

-s_xdydz + (s_x + d_xs_x)dydz - t_yxdxdz + (t_yx + d_yt_yx)dxdz –

- t_zxdxdy + (t_zx + d_zt_zx)dxdy + Xdxdydz = 0,

раскроем скобки и распишем частные производные

,

поделим уравнение на элементарный объем

. (54)

Аналогично запишем уравнения равновесия по двум другим осям координат:

,

. (55)

Полученная система уравнений содержит шесть неизвестных компонентов: три нормальных напряжения и три касательных напряжения (с учетом закона парности касательных напряжений). Следовательно, этих уравнений недостаточно для решения поставленной задачи.

II. Геометрические соотношения.

В теле выберем некоторую точку А с координатами (x,y,z). После нагружения и деформации (рис.30) точка А переместилась в точку А₁ с координатами (х₁, у₁, z₁) на малую величину Dr (Dх, Dу, Dz).

Введем обозначения

Dх = х₁ – х = U,

Dу = у₁ – у = V, (56)

Dz = z₁ – z = W,

где U, V, W – перемещения вдоль координатных осей Х, У, Z.

Теперь возьмем отрезок АВ бесконечно малой длины dS с направляющими косинусами (l, m, n). Изменение длины отрезка под нагрузкой dS₁ - dS = DdS называется абсолютным удлинением или приращением.

Рис. 30

Отношение приращения к первоначальной длине отрезка называется относительным удлинением или линейной деформацией:

e = . (57)

Пусть отрезок dS имеет проекции по координатным осям (dx, dy, dz). Зная направляющие косинусы отрезка, найдем величину проекций:

dx=l×dS,

dy=m×dS, (58)

dz=n×dS.

Найдем длину отрезка dS через проекции:

dS² = dx² + dy² + dz².

Продифференцируем это выражение:

2×dS×DdS = 2×dx×Ddx + 2×dy×Ddy + 2×dz×Ddz. (59)

учитывая выражения (56), можно записать:

Ddx = dDx =dU,

Ddy = dDy = dV, (60)

Ddz = dDz = dW.

Подставим полученные выражения в (59):

dS×DdS = dx×dU + dy×dV + dz×dW,

следовательно, приращение отрезка равно:

DdS = ×dU + ×dV + ×dW = l×dU + m×dV + n×dW. (61)

найдем линейную деформацию по формуле (57) с учетом выражения (61):

e = = ×l + ×m + ×n. (62)

Перемещения U, V, W являются функциями трех координат, так как они зависят от положения точки в теле по отношению к опорам и приложенным нагрузкам. Следовательно, полный дифференциал является суммой частных производных.

,

, (63)

.

Поделим каждое из уравнений (63) на dS:

,

, (64)

.

Подставим полученные выражения (64) в уравнение деформации (62):

Раскрыв скобки и сгруппировав слагаемые по направляющим косинусам, получим полное выражение для линейной деформации:

Введем обозначения

, , , (65)

, , .

Эти выражения получили название формул Коши. Они связывают между собой компоненты тензора деформаций и перемещения точки. С учетом формул Коши деформация в произвольном направлении получит следующий вид:

. (66)

Определим физический смысл введенных обозначений. Формула (66) справедлива для любого направления, поэтому возьмем отрезок dS параллельно оси Х, тогда его длина определяется проекцией на эту ось dS=dx и направляющие косинусы равны l =1, m=n=0. Согласно уравнению (66) деформация отрезка в этом случае будет равна:

e = .

т. о. e_х – линейная деформация в направлении оси Х; аналогично e_у – линейная деформация в направлении оси Y; e_z – линейная деформация в направлении оси Z.

Теперь определим, что такое g. Возьмем в теле прямой угол АВС со сторонами, параллельными осям координат. После нагружения тела, угол деформировался и занял положение А₁В₁С₁ (рис. 31).

Рис. 31

Точка А переместилась вдоль оси Y на V, а точка В вдоль той же оси переместилась на V+d_xV. При этом длина отрезка dx стала dx+Ddx. Рассмотрим треугольник А₁В₁В’:

tga = . (67)

Аналогично рассмотрим треугольник А₁С₁С’:

tg b = . (68)

Первоначально прямой угол уменьшился на a+b. С учетом того, что при малых углах tga» a получаем:

.

Таким образом, получается, что g_ху – изменение прямого угла со сторонами, параллельными координатным осям, т. е. угловая деформация в плоскости ХY. Аналогично можно получить две других угловых деформации.

III. Физические соотношения.

При испытаниях на растяжение был экспериментально установлен закон Гука:

. (69)

Также опытным путем установлены модуль Юнга Е – коэффициент пропорциональности между нормальным напряжением и линейной деформацией и коэффициент Пуассона m – отношение поперечной деформации к продольной.

Рассмотрим закон Гука в главных осях.

Рис. 32

При одноосном напряженном состоянии (рис.32) деформации по трем осям будут равны:

, (70)

.

При рассмотрении трехосного напряженного состояния (рис.33) воспользуемся принципом суперпозиции, т.е. найдем деформации по осям от каждого напряжения в отдельности.

Рис. 33

От напряжения s₁:

, .

От напряжения s₂:

, .

От напряжения s₃:

, .

Найдем суммарные деформации по координатным осям.

,

, (71)

.

Формулы (71) представляют собой закон Гука в главных осях. Эти формулы связывают главные напряжения и главные деформации. Вне главных осей существуют касательные напряжения и искажение углов. Следовательно, существует связь между ними. Для установления этой связи перейдем от главных осей к произвольным:

. (72)

Нормальное напряжение s₁ можно выразить по основной квадратичной форме (33) через напряжения в произвольных осях:

s₁ = s_x×l² + s_y×m² +s_z×n² + 2t_yx×m×l + 2t_zx×n×l + 2t_zy×n×m.

Подставим это выражение в формулу (72) и умножим первый инвариант на сумму квадратов направляющих косинусов (l² + m² + n² = 1)

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые по направляющим косинусам:

Сравним полученное выражение с квадратичной формой деформации в произвольном направлении (66):

,

,

, (73)

,

,

.

где G = - модуль сдвига, постоянная величина, являющаяся характеристикой материала.

Уравнения (73) являются обобщенным законом Гука, выражающим связь между напряжениями и деформациями.

Таким образом, рассмотрев три части математической модели, мы имеем 15 уравнений (3 уравнения равновесия, 6 формул Коши, 6 уравнений обобщенного закона Гука) и 15 неизвестных (3 перемещения по координатным осям, 3 нормальных напряжения, 3 касательных напряжения, 3 линейных деформации, 3 угловых деформации).

Построение математической модели механики твердо деформированного тела – предмет изучения линейной теории упругости. Полученная математическая модель не является ещё полной, так как часть уравнений (формулы Коши и уравнения равновесия) имеют дифференциальный вид. Их нужно интегрировать. В результате чего появляются постоянные интегрирования, то есть дополнительные неизвестные. В обыкновенных дифференциальных уравнениях это константы, для уравнений в частных производных это функции. Поэтому необходимо существование дополнительных условий. Это так называемые граничные условия – условия на границе данного тела (на поверхности).

Граничные условия бывают трех типов: силовые, геометрические и смешанные.