Моменты энергетического спектра

Теорема Парсеваля

Интуитивно ясно, что полная энергия сигнала не зависит от выбранного представления. Значения полной энергии, подсчитанные из временного и частотного представлений сигнала совпадают

,, т.е..

Аналогично для двух сигналов

Эти соотношения составляют содержание теоремы Парсеваля. Из этой теоремы следует инвариантность скалярного произведения и нормы относительно преобразования Фурье:

;

Для диагностики механизмов (систем) используют так называемые моменты энергетического спектра. Начальный момент порядка n энергетического спектра определяется как. Центральный момент порядка n энергетического спектра,

где – средняя частота процесса.

Второй центральный момент характеризует компактность спектра, третий – его симметрию, четвёртый – островершинность.

Модулированные сигналы и их спектры

При создании систем переработки информации в большинстве случаев оказывается, что спектр исходящего сигнала, подлежащего передаче, сосредоточен не на тех частотах, которые эффективно пропустят имеющийся канал связи. Кроме того, часто необходимо в одном и том же канале передавать несколько сигналов одновременно.

В устройствахсвязи и в компьютерных сетях широко используется частотный принцип разделения сигналов. В соответствии с этим принципом сигналам отводятся узкие неперекрывающиеся полосы частотиз всего диапазоначастот, занимаемого системой передачи информации. С помощью узкополосных сигналов легко организовать передачу информации от большого числаисточников к большому числу получателей, при этом источники не будутмешать друг другу.

Кроме частотного принципа в связи используется временной принцип разделения сигналов, когда каждому сигналу отводится небольшой промежуток временииз некоторого большогоповторяющегосявременного интервала, отведенного множеству сообщений. Времен­ной принцип часто используется в телефонии.

Частотный принцип разделения сигналов используется в радио и телевещании, в устройствах мобильнойсвязи, при передаче информа­ции с помощью модемов и т. п. Большинство узкополосныхсигналов,располагаясь в области высоких частот системысвязи, являются вы­сокочастотными колебаниями.Важное преимущество высокочастотных сигналов состоит в том, чтоони хорошоизлучаются неболь­шими по размеру антенными устройствамии могут распространяться на большие расстояния.

Речевые и музыкальные сигналы, видеосигналы, сигналы, содер­жащие цифровую информацию и т. п., являются относительно низ­кочастотными сигналами. Их спектр занимает диапазон частот, начинающийся вблизи нуля и заканчивающийся некоторой верхней частотой. Например, телефонный речевой сигнал занимает диапазон частот от 300 Гц до 3400 Гц.

Проблема передачи информации, содержащейсяво многих низко­частотных сигналах, с помощью множества узкополосныхканалов связи с разными частотами решается при использовании модулиро­ванных сигналов. Модулированный сигнал — это узкополосный сиг­нал, параметры которогоизменяются пропорционально низкочастот­ному информационному сигналу. Как правило, модулированный сигнал является высокочастотным колебанием. Для получения моду­лированного сигнала используется гармонический сигнал, называемый в этом случае несущим колебанием (несущей частотой). Информация вносится в несущее колебание с использованием модуляции — изменения какого-либоиз параметров высокочастотного сигнала пропорциональнонизкочастотномусигналу s (t).Различают три основных вида модуляции.

(1)

При амплитудной модуляции (АМ) амплитуда сигнала изменяетсяпрямо пропорционально информационному сигналу s (t):

(2)

Здесь —начальное значение амплитуды несущей, —ко­эффициент, зависящий от конструкции амплитудного модулятора.Поопределению амплитуда гармонического сигнала является положи­тельнойвеличинойи поэтому в модуляторе и должны быть такими, чтобы всегда. В противном случае возникает пере­модуляция. Учитывая (1), сигнал с АМ записываем следующим обра­зом

(3)

Дляанализа амплитудной модуляцииудобно использовать про­стейшеесообщение — гармоническийсигнал (рис.1, а). Формула(2) в этом случае принимает вид

где — коэффициент амплитудной модуляции. Коэф­фициент т — основной параметр АМ-колебаний сгармонической мо­дуляцией.На рис. 1, б, в показаны модулированныесигналы с коэф­фициентами

АМ, равными т = 0,5 и т = 1 соответственно.Пристопроцентной амплитудной модуляции (m =1)имеют место макси­мальныеизменения амплитуды модулированного сигнала: амплитуда изменяется от нуля до удвоенного значения.

Используя тригонометрическуюформулу дляпроизведениякоси­нусов, выражение (3) перепишем в виде

(4)

Все три слагаемых в правой части формулы (4) —гармоническиеколебания.Первое слагаемое представляет собой исходное немодули­рованное колебание (несущую). Второе и третье слагаемые называют, соответственно верхней и нижней боковыми составляющими. Формула (4)дает спектральное разложение АМ-колебания. Амплитудный спектр АМ-сигнала изображенна рис. 2, а. Ширина спектра этого АМ-колебания равна удвоенной частоте модулирующего сигнала.

Если модуляция осуществляется сложным периодическим сигна­лом, в спектре которого содержитсямного гармоник, то каждаяиз этих гармоник даст две боковые составляющие в спектре модулиро­ванного сигнала. В спектре появляются верхняя и нижняя боковые полосы (рис. 2, б).Ширина спектра будет определяться модулирую­щей гармоникой с максимальновысокой частотой. Аналогичные ре­зультаты получим для сложного непериодического сигнала, используя теорему о спектре сигнала,умноженного на комплексныйгармониче­ский сигнал.

Отметим, что обе боковыеполосы несут полную информациюо низкочастотном модулирующем сигнале. Поэтомув технике связичасто используются сигналы с одной боковой полосой (ОБП-сигналы). Нужная боковая полоса выделяется с помощью фильтра. Вторая боко­вая полоса (включая иногда и несущую) подавляется.ОБП-сигналызанимают меньшую полосу частот и при прочих равных условиях тре­буют меньшей мощности передатчика.

Фазовая модуляция (ФМ) — это изменение начальной фазы высо­кочастотного сигнала прямо пропорционально низкочастотному сиг­налу:

(5)

где — коэффициент, зависящий от конструкции фазового моду­лятора, — начальная фаза. На практике наиболее часто использу­ется модуляция с большими отклонениями фазы от начального значе­ния.

С учетом (5) полнаяфаза (аргумент косинуса)приФМ будетравна.Из анализа этой формулы следует,что ско­рость возрастания полной фазы при ФМ не равна частоте несущей. Понятие частоты при ФМ требует уточнения.

Мгновенной частотой сигналаназывают производную. У идеального гармонического сигнала мгновенная частота постоянна:.При ФМ мгновенная частота равна.Из этой формулы следует, что приФМ в общем случае возникают изменения мгновенной частоты сигнала.

При частотной модуляции (ЧМ) мгновенная частота высокочас­тотного сигнала изменяется прямо пропорционально низкочастотному сигналу:

(6)

где — коэффициент, зависящий от конструкциичастотногомодуляторе.

График сигнала с ЧМ при гармоническом модулирующем сигнале приведен на рис. 3, б. Амплитуда сигнала с частотной модуляцией неизменяется. Увеличение уровня модулирующего сигнала вызывает увеличениемгновенной частоты сигнала. На рис. 3, б этому соответ­ствует увеличение числа максимумов и минимумов колебания на фик­сированном временном отрезке. При уменьшении мгновенной часто­ты сигнала увеличивается период квазигармонического сигнала.

Отметим, что график на рис. 3, б будет соответствовать сигналу с фазовой модуляцией. При ФМ амплитуда сигнала также не изменя­ется, а при гармонической ФМ возникает гармоническая ЧМ. Кривая на рис. 3, а в этом случае соответствует производной от модулирую­щего сигнала.

Второе слагаемое в формуле (6), содержащее сигнал s (t),как пра­вило, много меньше частоты несущей. Только в этом случае мо­дулированный сигнал будет относительно узкополосным и не будет "мешать" другим модулированным сигналам.

При частотной модуляции полная фаза сигнала определяется по формуле

Как видим, при ЧМ в общем случае изменяется начальная фаза сигнала. Выше отмечалось, что при ФМ имеются изменения мгновен­ной частоты. Поэтому ФМ и ЧМ — два тесно связанных друг с дру­гом вида модуляции — относят к угловой модуляции (УМ). Так как при модуляции высокочастотный сигнал близок к идеальному гармо­ническому сигналу, то модулированный сигнал называют также ква­зигармоническим сигналом.

Модулированный сигнал с фазовой модуляцией записывается сле­дующим образом

(7)

(8)

Если в формуле (7) сигнал, то

где — индекс фазовой модуляции. Индекс фазовой модуля­ции в (8) —основной показатель сигнала сгармонической фазовоймодуляцией.В системах связи, как правило, используются модулиро­ванные сигналы сбольшими значениями индекса фазовой модуляции:.

Используя введен ное выше понятие мгновенной частоты,модули­рованный сигналс частотной модуляцией запишем в виде

(9)

Если для модуляции используется простейшийсигнал, томгновенная частота,где — девиация частоты, равная максимальномуотклоне­ниюмгновенной частоты от. Девиация частоты — основ­ной показатель сигнала с гармонической ЧМ. Формула (9) при гармо­нической частотной модуляции имеет вид

(10)

Из анализа формулы(10) следует, что при гармонической ЧМ воз­никает гармоническая ФМ с индексом.

Для определения спектра сигнала с гармонической УМ используем формулу (8) для сигнала сФМ. Выражение (10) такжеможно было бы использовать для расчета спектра сигнала с угловой модуляцией.Какизвестно, синус в (10) можно заменитькосинусом с дополнительнойначальной фазой, равной - 90°.

(11)

Для простоты при расчете спектра сигнала сугловой модуляцией начальную фазу в (8) примем равной нулю. Используя тригономет­рическое соотношение для косинусасуммы двух углов, формулу (8) перепишемв виде

(12)

В теории бессолевых функций доказывается, что

где — бесселева функция первого рода n -го порядка

.

Графики первыхвосьми функций Бесселя показаны на рис. 4.

Подставляя (12) в (11) и учитывая формулы для произведений тригонометрических функций, получим

(13)

Следовательно, при фазовой модуляции спектр колебаниясодержит несущую и бесконечноечисло гармонических составляющих, расположенных симметрично относительно несущей частоты (рис.5).При использовании формулы (10) спектр ЧМ-сигнала будет отличать­ся от спектраФМ-сигналатолько начальными фазами отдельных спектральных компонент.

Амплитуданесущейи амплитудыбоковых составляющих в спек­тре сигнала с угловой модуляцией определяются функциями Бесселя. Если индекс угловой модуляции, то и. Дру­гие функцииБесселя будут пренебрежимо малы. В этом случае в формуле (13) учитываются только несущая и две боковые гармоники и спектр колебания с угловой модуляцией похож на спектр сигналас АМ.Ширина спектрасигнала при примерно равна (рис. 5).

Если индекс, то дополнительные боковые составляющие об­разуют верхнюю и нижнюю боковые полосы. Причем амплитуда не­сущей уменьшается, а при и т. п. эта амплитуда равна нулю. В этом случае вся энергия модулированного сигнала сосредо­точена в боковых составляющих. Амплитудный спектр колебания с УМ при, равном примерно 2,4 и 5, приведен на рис. 5. Из анализа этих спектров и графиков рис. 4 следует, что ширина спектра сигнала с интенсивной угловой модуляцией при примерно равна удвоенной девиации частоты.

Отметим, что использование угловой модуляции с большим ин­дексом позволяет получить увеличенную помехоустойчивость при передаче сложных сообщений. Сигналы с угловой модуляцией мень­ше подвержены влиянию импульсных помех, возникающих в про­мышленных электроустановках, при грозах, в транспортных средствах с электрическим питанием и т. п. Поэтому фазовая и частотная моду­ляции в настоящее время широко используются в радиовещании, в космической связи, в устройствах сотовой связи и в других системах передачи информации с малыми искажениями.

Для увеличения скоростипередачи сообщений в современных сис­темах связи и передачи информации используются смешанные виды модуляции. Например, в модемах используется амплитудно-фазовая или квадратурная модуляции. При такой модуляции изменяетсякакамплитуда,так и начальная фаза (и частота) квазигармонического сигнала.