Разные задачи

Сколькими способами можно рассадить 5 девочек на одной лавке?

Число размещений без повторения.

Сколькими способами можно составить хоровод из 13 мальчиков?

Хоровод не имеет начала, поэтому поставим одного мальчика в начало, а уже остальных относительно него разместим без повторения.

Сколькими способами можно собрать бусы из 13 камешков?

В отличие от хоровода, если мы перевернём бусы, то это будут те же самые бусы, поэтому вариантов в 2 раза меньше.

В купе эл-ки нужно рассадить 6 человек. Сколькими способами можно сделать, если один из них предпочитает ехать против движения, два – по ходу движения, а трём – безразлично? Как изменится решение задачи, если для этого будет выделено два купе?

1. Сперва рассадим седоков с предпочтениями в направлении движения; для каждого направления – 3 сидения:  для любителей сидеть по ходу движения,  для любителей сидеть против, а затем оставшихся проезжих  способами, итого это  способов.

2. В данном случае у нас по 6 сидений в каждом направлении, тогда значения будут таковы:  для любителей сидеть по ходу движения,  для любителей сидеть против, а затем оставшихся проезжих  способами, итого это  способов.

В игре в классическую мафию участвуют 10 человек и ведущий, сидящие за столом. Все игроки пронумерованы, каждому игроку показывается карта с его ролью. Всего ролей 4: две мафии и дон, являющийся также мафией, но ищущий шерифа; шериф, ищущий мафию и 6 мирных жителей. Игроки 1 и 10 сидят у ведущего.

Найдите число расстановок стола таких что:

1. Мафии сидят в ряд;

2. Шериф окружён мирными жителями;

3. Мирный житель сидит между шерифом и мафиею;

4. Шериф и мафия сидят у ведущего;   

Рисунок 3: Пояснение к расстановке игроков в мафию

Решения:

1. Из-за наличия ведущего средний игрок из ряда в мафию не может находиться на местах 1 и 10, то есть таких мест 8. На три места мафию можно разместить  способами. Остальных игроков рассадим  способами. Итого таких расстановок .

2. В отличие от предыдущего условия, шериф может сидеть на любом из мест, в случае расположения на крайних местах, его окружает один мирный житель, иначе – два. Данные случаи нужно рассмотреть отдельно. Если шериф сидит с краю, то мирного жителя можно выбрать  способами, расположение остальных игроков ; общее число таких рассадок нужно умножить на два; если шериф расположен между мирными жителями, то мирных жителей можно выбрать  способами, расположение блока шериф-мирные можно выбрать 8 способами и расположение остальных игроков  способами, ответ:  способами.

3. Рассадок мирного жителя, также как и в случае 1 настоящего перечня 8; шериф может быть справа и слева от мирного жителя, поэтому итоговое количество расстановок умножим на два. Мафию можно выбрать тремя способами, остальных игроков –  способами. Итого:

4. Возможно два случая: шериф открывает стол (сидит на 1 месте), и мафия закрывает стол и наоборот, мафию можно выбрать 3 способами, остальных игроков  способами.