2021-12-25
97
Первый курс Занятие второе
Вопрос 0. Разбор домашнего задания
6. В случае одной и двух четвёрок подряд легко найти соответствующие полные квадраты (22 и 122), поэтому данные случаи не проверяем.
Рассмотрим число 
оканчивающееся на 3 четвёрки. Оно делится на 4, а 4 является квадратом, таким образом наше число имеет вид 
Разделим число Т на 4:
Если число четвёрок на конце больше трёх, то 
и остаток от деления на 4 будет 3, что соответствует невычету.
Упражнение: Найдите наименьшее число, квадрат которого имеет 3 четвёрки на конце подряд.
Подсказка: разрешайте различные квадратичные сравнения и примените китайскую теорему об остатках.
Вопрос 1. Метод математической индукции
Есть череда утверждений (их число не более, чем счётно), следующих одно из другого. Пусть среди них есть база – самое простое утверждение. Тогда можно доказать все утверждения сразу, проведя следующий приём:
Доказываем базу индукции (самое простое утверждение).
Полагаем, что верны n утверждений, доказываем, что верно n+1 (-ое) утверждение. Таким образом доказаны все утверждения.
Вопрос 1. Преобразования выражений с квадратичными иррациональнастями
Найти предел последовательности:
Упростим выражение:
Для решения нужно представить подкоренное выражение в виде квадрата:
В случае корней иных степеней нужно подбирать соответствующие степени. Выделим в выражении рациональную и иррациональную части:
Приравнивая рациональные и иррациональные части подкоренного выражения и квадрата суммы, получим: 
Данную систему решаем методом подстановки:
Таким образом имеем базу индукции:
Предположим, что для n-1 корня данное утверждение (7) выполнено, тогда рассмотрим:
Получилось. Выходит, что для каждого n предел последовательности равен одному и тому же числу (6).
