Теоретичні відомості

Імітаційне моделювання діяльності комерційного банку

Приймемо обмеження, що розміри внесків, та вилучення коштів – постійні. Нехай через випадкові проміжки часу x до банку надходять внески постійної величини с₁, через випадкові проміжки часу h від вкладників надходять заяви на вилучення коштів на постійну суму с₂. Банк оплачує вкладникам відсоток a із розрахунку за одиницю часу. Банківський капітал, який перевищує резерв R, може бути спрямованим на кредитування клієнтів під відсоткову ставку b. У випадку, коли на момент надходження заяви на вилучення коштів банк не має достатньої кількості готівки, він здійснює кредитування суми, якої не вистачає, у сторонніх кредиторів під відсоток g.

Моделювання даної спрощеної схеми доцільне з метою визначення оптимального значення банківського резерву R, при кожній фіксованій сукупності значень x, h, с₁, с₂, a, b, g. 

Даній модель відображається за допомогою чотирьох автоматів, зв’язки між автоматами подані на графі міжавтоматних зв’язків (рис. 1), тлумачення внутрішніх станів автоматів наступне:

a₁(t) – проміжок часу від моменту t до моменту надходження наступного внеску;

a₂(t) – проміжок часу від моменту t до надходження наступної заяви на вилучення внеску.

a₃(t) – поточно сума внесків на рахунку в банку;

a₄(t) – розмір поточного банківського капіталу;

Приклад.

a=10% (відсоток, який банк сплачує вкладникам);

b=20% (відсоткова ставка за користування кредитом);

g=30% (відсоткова ставка, яку сплачує банк за користування кредитом у сторонніх кредиторів);

c₁ =20, c₂ =10 (розмір внесківта коштів, які вилучаються відповідно);

R=100 (резерв банку);

(1, 2, 30,150) – вектор початкових станів моделі, тобто а₁ (0)=1; а₂ (0)=2; а₃ (0)=30; а₄ (0)=150.

Припустимо, що для випадкових величин виходячи з їх законів розподілення отримані наступні значення:

x=2, 3, 1, 5, 2...

h=1, 2, 5, 4, 1....

 

 

Методи нарахування відсотків

Введемо позначення P - початковий капітал; r - відсоткова ставка. Розмір інвестованого капіталу через n років, якщо інвестування проводилось на умовах нарахування простого відсотку, визначається за формулою:

 

FV = P (1+ nr),

 

,тобто капітал щорічно збільшується на величину Pr. В схемі простих відсотків база нарахування залишається сталою.

Якщо інвестування проводилося на умовах нарахування складного відсотку, то річний доход визначається з суми, яка включає інвестований капітал і раніше нараховані та не вилученні відсотки. Відповідно розмір капіталу через n років:

FV = P (1+ r) ⁿ.

 

Завдання 1

Провести порівняльний аналіз приросту капіталу по схемі простого і складного відсотку, якщо:

початковий капітал P =10 k тис. грн., де k – номер варіанту;

річна відсоткова ставка r = 5 %, 10 %, 15 %.

Результати розрахунку приросту капіталу оформити у вигляді таблиці (табл. 3).

Відобразити графічно залежність суми приросту капіталу від періоду та розміру відсоткової ставки. Для виконання розрахунків рекомендується використати Microsoft Exel.

 

 

Оцінка доходності і ризику інвестиційного портфелю.

Теоретичні відомості

Припустимо x ₁, x _2, x _{2, …,} x_m – прогнозні оцінки значення доходності фінансового інструменту, чи доходність, яка спостерігалась в m випадках, p_i  - ймовірність їх появи.Найбільш ймовірна доходність фінансового активу розраховується за наступною формулою:

,

середнє квадратичне відхилення за формулою:

 

Портфель активів визначимо як набір k =(k ₁, k ₂,..., k_{n ­}), де k_i – частка i -го активу в портфелі, n – кількість активів в портфелі.

Доходність портфелю розраховується за формулою:

де k_i – частка i -го активу в портфелі;

d_i – доходність i -го активу;

n – кількість активів в портфелі.

Значення середнього квадратичного відхилення доходності для портфелю з n активів визначається за формулою:

де k_i – частка i -го активу в портфелі;

r_ij – коефіцієнт кореляції між очікуваною доходністю i -го та j -го активів;

s_I – варіація доходності i -го активу.

Для портфелю з двох активів значення середнього квадратичного відхилення визначається за формулою:

де k ₁, k ₂ – частка 1,2-го активу в портфелі відповідно, при чому k ₁+ k ₂=1;

r ₁₂– коефіцієнт кореляції між очікуваною доходністю 1-го та 2-го активів;

s ₁, s ₂ – варіація доходності 1,2-го активу відповідно.

Коефіцієнт кореляції доходності двох активів визначається за формулою:

де d₁, d₂ – середня доходність 1, 2-го активу відповідно;

x_1i, x_2i – доходність 1, 2-го активу відповідно в i -му спостереженні i =1.. m.

 

Показник коваріації двох активів визначається наступним чином:

.

Довірчий інтервал для середньої доходності фінансового активу визначається наступним чином:

де  - середня доходність i –го фінансового активу;

n – кількість активів в портфелі;

D d_i – гранична помилка;

t – коефіцієнт довіри.

 

Застосування методів теорії прийняття рішень для вирішення задачі вибору інвестиційного портфелю

 

1) Визначити коефіцієнт кореляції між очікуваною доходністю кожної пари фінансових активів та оформити у вигляді матриці:

Диверсифікація інвестиційного портфелю 

Портфель активів визначимо як набір k =(k ₁, k ₂,..., k_{n ­}), де k_i – частка i -го активу в портфелі i =1.. n, n – кількість активів в портфелі. Множину ефективних портфелів можна побудувати рішенням загальної задачі мінімізації ризику за наступною моделлю, запропонованою Г.Марковицем:

 

Цільова функція:

Обмеження:

 

де s_ij  - коваріація доходності активу i та j;

- середня доходність i-го активу;

 - бажаний рівень доходності портфелю;

Перше обмеження моделі фіксує бажаний рівень доходності, друге – нормує вагові коефіцієнти фінансових активів портфелю.

Функція Лагранжа для задачі мінімізації ризику для фіксованого рівня доходу записується так:

де l₁, l₂ – множники Лагранжа.

Портфель мінімального ризику знаходиться для всіх активів i =1..n,

та j =1, 2 за умовою:

Дана умова першого порядку визначає лінійну систему рівнянь, тому дозволяє застосовувати матричні методи.

Розглянемо функцію Лагранжа для портфелю з трьох активів:

 

Умови першого порядку для даної задачі:

В матричному вигляді система рівнянь:

Позначивши матрицю “ризик - доходність” як V, вектору (k,l) як K, а вектор у правій частині як W, запишемо систему рівнянь як V×K = W, розв’язком якої відносно K буде: K = W× V^{- 1}. Даний розв’язок визначає оптимальний портфель із трьох активів, який забезпечує бажаний рівень доходності при фіксованому рівні ризику.