Первообразная. Неопределенный интеграл

Первообразная. Неопределенный интеграл.

Определенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке I, если для любого х из промежутка I выполняется равенство: 

Для каждой функции существует множество первообразных Ф(х)=F(x)+c.

Неопределенный интеграл- это выражение, записанное в виде:

=F(x)+c

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла.

– подынтегральная функция

dx – значок дифференциала. При записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

– первообразная функция.

– множество первообразных функций (то есть, в любом неопределенном интеграле к ответу прибавляется с)

Решить интеграл – это значит найти определенную функцию, пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Еще раз посмотрим на запись: .

 

 

Например:

=3 +с =  +с (Решаем по формуле 1 из таблицы. Можно сделать проверку, взяв производную полученного ответа!)

2.  + )dx= 4  + 3  = 4tg x+3 2 +c = 4tg x + 6 + c(  =2 +c

3.  dx=  = =  +  - x+c =  +  -x +c.

Определенным интегралом в пределах от а до в от функции f(x), непрерывной на отрезке [ а, в ], называется приращение любой ее первообразной F(x) при изменении аргумента х от значения х=а до х=в:

 

Данная формула так же называется формулой Ньютона-Лейбница, ее называют основной формулой интегрального исчисления.

 

ПРИМЕРЫ: Вычислить определенный интеграл:

1) ;