Принцип суперпозиции. Отклик линейной цепи на сумму многих воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие по отдельности

ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ

Отклик линейной цепи на сумму многих воздействий равен сумме откликов на каждое воздействие по отдельности.

Это и есть принцип суперпозиции.

Рис. 2. Пример применения принципа суперпозиции: преобразование исходной задачи (а) в частные (б).

Выделение одного единственного источника простейшего сигнала из многих, генерирующих в совокупности сложный сигнал, сводится к исключению прочих источников. Исключение источников выполняют следующим образом:

источники ЭДС заменяют идеальными проводниками,

источники тока – разрывами цепи.

ПРИНЦИП ВЗАИМНОСТИ

Принцип взаимности определяет связи между токами и напряжениями в двух ветвях пассивной цепи при действии в них источников различного характера. Рассмотрим две ветви k и m пассивной электрической цепи, обозначенной на рис. 3, A как П.

Рис. 3.

Пусть единственный источник ЭДС E, действующий в ветви k, вызывает в ветви m ток I_m. Тогда при действии такого же источника E в ветви m (рис. 3, B) той же цепи ток I_k в ветви k, обусловленный этим источником, будет равен току I_m. Сформулированный принцип является очевидным. Так как E_k I_m =E_m I_k, то энергия сохраняется!

МЕТОД УЗЛОВЫХ ПОТЕНЦИАЛОВ [1]

При применении метода узловых потенциалов вычисляют потенциалы узлов, или, что то же самое, узловые потенциалы. Пусть в схеме имеется Q узлов. Одному из узлов присваивают нулевое значение, и такой узел становится опорным, или базисным. Потенциалы остальных узлов схемы – неизвестные функции задачи. Их отсчитывают по отношению к опорному узлу. Ток в каждой ветви схемы можно выразить через разность узловых потенциалов.

Согласно первому правилу Кирхгофа приравнивают нулю сумму токов ветвей, сходящихся в узел, и получают систему независимых уравнений. Их количество (Q - 1) совпадает с количеством неизвестных функций – узловых потенциалов. Уравнения решают, и по найденным потенциалам узлов вычисляют напряжения на ветвях (как разность потенциалов) и токи в ветвях. Если между двумя узлами включён источник ЭДС Е, и один узел этой пары – опорный, очевидно, что потенциал другого узла известен: он равен Е.

Проиллюстрируем применение метода узловых потенциалов для поиска напряжения U ₁ в схеме, имеющей 7 ветвей, 4 узла, 1 источник тока I и 1 источник ЭДС Е (рис.4). По правилам Кирхгофа для неё требуется составить 6 уравнений, в том числе 3 уравнения по первому правилу. Если ввести новые неизвестные функции – потенциалы j_1, j₂ и j₃ узлов 1, 2 и 3 соответственно – и решать задачу методом узловых потенциалов, то обойдёмся двумя уравнениями.

Решение начинаем с выбора опорного узла. Поскольку в схеме имеется источник ЭДС, включённый между двумя узлами целесообразно один из этих узлов (на схеме - нижний) считать опорным. Его потенциал принимаем за нуль. Потенциал j₃ другого узла будет равен Е. Потенциалы j₁ и j₂ узлов 1 и 2 отсчитываются относительно нулевого. Они войдут неизвестными функциями в уравнения, составленные в соответствии с первым правилом Кирхгофа для токов в узлах 1 и 2.

Рис 4. С учётом условных положительных направлений токов в узлах, показанных на рисунке стрелками, уравнения получаются такими:

Перейдём от сопротивлений ветвей к проводимостям ветвей: G_k = 1/R_k.

Уравнения принимают вид:

В первом уравнении слева стоит сумма двух слагаемых. Это – потенциал узла 1, умноженный на сумму проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле, и потенциал узла 2, умноженный на проводимость ветви, соединяющей узлы 1 и 2. В правой части уравнения имеем алгебраическую сумму тока источника и тока EG₂.

Аналогичную структуру имеет второе уравнение. Решение системы уравнений – узловые потенциалы j₁ и j₁ – найти несложно. Значение искомого напряжения U₁ равно потенциалу j₁.