Тема. Уравнения со знаком модуля

Тема. Уравнения со знаком модуля

Учебная дисциплина: математика.

Группа:                         МОЦИ-270.

Дата:                             19 октября 2021 г.

Учитель                            Данилова А.Ф.

Цель: разобрать методы решения уравнений с модулем.

                                      

                                            Ход занятий

 

Эта тема научит обучающихся мыслить, думать и решать любые задания, в том числе уравнения и неравенства, содержащие неизвестное под знаком модуля.

Данный урок направлен на расширение знаний обучающихся, на повышение уровня математической подготовки.

 

1.Теоретический материал

 

Рассмотрим решения вопросов, связанных с понятием модуля, которые могут быть рассмотрены как на уроке, так и во внеклассной работе.

 

Основные определения и основные теоремы.

Определение 1.

Модулем действительного числа а называется неотрицательное число а, если а >0

| а| = 0, если а = 0

- а, если а < 0

Теорема 1.

Противоположные числа имеют равные модули, т.е. | а| = |- а|

Теорема 2.

Модуль суммы конечного числа действительных чисел не превосходит сумму модулей слагаемых, т.е. | а₁ + а₂ + …+ а_n| ≤ | а₁| + | а₂| + … + | а_n|

 

Теорема 3. | а - в| ≤ | а| + | в|

 

Теорема 4. || а| - | в|| ≤ | а ± в| ≤ | а| + | в|

Теорема 5. | а · в| = | а| · | в|

Теорема 6. в ≠ 0

2.Разбор решения упражнений

 

                          №1.

Решить уравнение:

 

или

 

имеем и следовательно,

 

х₁ = -5; х₂ = -1

 

Ответ: -5, -1.

 

                            №2.

Решить уравнение: |х-3| = 2

Х-3 = 2 или х- 3 = -2

Х= 5           х=-2+3

                     х= 1.

Ответ:5; 1

 

Чтобы решить уравнение вида ƒ|х| = а рассмотрим решение двух систем:

ƒ(х) = а и ƒ(-х) = а

х ≥ 0 х ≤ 0

 

Функция g(х) = ƒ|х| - а четная.

Значения переменной, при которой функция обращается в нуль, будут противоположные числа. Поэтому достаточно найти решение одной из систем, второй корень будет противоположным ему числом.

                             №3

Решить уравнение х² - |х| = 6

Если х ≥ 0. то х² – х = 6,   х² – х – 6=0 и по т.Виета имеем: х1= 3,

х2 = -2. Но корень х2 = -2 – посторонний корень.

Если, х < 0, то,   х² + х – 6=0 и по теореме Виета имеем: х1=-3, х2=2.Но корень х2=2 является посторонним.

Итак, решением уравнения являются 3 и -3

Ответ:3,-3.