Уравнение вида |ƒ(х)| = φ(х)

Уравнение вида |ƒ(х)| = φ(х)

Данное уравнение |ƒ(х)| = φ(х) распадается на совокупность двух смешанных систем:

ƒ(х) = φ(х)  ƒ(х) = -φ(х)

φ(х) ≥ 0 и φ(х) ≥ 0

                  №4

Решить уравнение |3х - 7| = х – 2

Решение

|3х - 7| = х – 2

Решению подлежат две системы:

3х – 7 = х – 2 и 3х – 7 = 2 – х

х - 2 ≥ 0 х - 2 ≥ 0

 

2х = 5 и 4х = 9

х – 2 ≥ 0 х – 2 ≥ 0

 

х = 2,5 и х = 2,25

х – 2 ≥ 0 х – 2 ≥ 0

 

Числа 2,5 и 2,25 удовлетворяют данному уравнению

Ответ: 2,5; 2,25

№5

Решить уравнение |х² - 4| = х² – 4

Решение

х² – 4 = х² – 4 и х² – 4 = 4 – х²

х² – 4 ≥ 0 х² – 4 ≥ 0

 

х – любое число и х = ± 2

х ≥ 2 и х ≤ -2 х ≥ 2 х ≤ - 2

 

Ответ: уравнению удовлетворяют все значения х ≥2 и х ≤ - 2

 

Уравнение вида |κ1х + в1| ± |κ2х + в2| ± …± |κnх + вn| = а

Для решения уравнения такого вида найдем абсциссы точек перелома графика функции – левой части этого уравнения, т.е. х₁ = - ; х₂ = - ; …. х_n = - ;

пусть х₁ < х₂ < ……< х_n

2. Данное уравнение последовательно рассмотрим на промежутках: (-∞; х₁]; [х₁; х₂]; [х₂; х₃]; …. [х_n; ∞).

На промежутке (-∞; х₁] получим некоторое линейное уравнение ƒ₁(х) = 0 и его корень х = а _1.

Если а ₁ содержится в (-∞; х₁], то а ₁ корень данного уравнения, а если не содержится, то а ₁ не является корнем данного уравнения. И так рассмотрим решение на каждом из промежутков.

№6

1. Решить уравнение |х - 1| + |х - 2| = 1

Точки перелома х₁ = 1, х₂ = 2.

Решение уравнения рассмотрим на промежутках (-∞; 1]; [1; 2]; [2; ∞).

1. х < 1; - х + 1 – х + 2 = 1; -2х = 2; х = 1

Так как 1 (-∞; 1], то х = 1является корнем уравнения

2. 1 ≤ х ≤ 2; х – 1 – х + 2 = 1; 0 · х = 0; х – любое число из множества [1; 2]

3. х ≥ 2 х – 1 + х – 2 = 1; 2х = 4; х = 2 2 [2; ∞)

Ответ: [1; 2]

 

 

Домашнее задание.1. Разобрать конспект.

 

2.Разобрать и записать уравнения:

 

№1. Решить уравнение:

|2х - 3| + |х - 3| - |4х - 1| = 0

Решение

 

Найдем точки перелома:

х₁ = ; х₂ = 1,5; х₃ = 3

Промежутки задания уравнения:

(-∞; ]; [ ]; [1,5; 3]; [3; ∞)

1. х ≤ ; -2х + 3 – х + 3 + 4х – 1 = 0; х = -5

-5 (-∞; ] значит х = -5 корень уравнения

2. ≤ х ≤ 1,5; -2х + 3 – х + 3 – 4х + 1 = 0; х = 1

1 [ 1,5] х = 1 корень уравнения

3. 1,5 ≤ х ≤ 3; 2х – 3 – х + 3 – 4х + 1 = 0; -3х = -1; х =

; х = не является корнем уравнения

4. х ≥ 3; 2х – 3 + х – 3 – 4х + 1 = 0; х = -5 не является корнем уравнения

-5 [3; ∞)

Ответ: -5; 1

 

№2. Решить уравнение: | | | |х| - 2| -1| -2| = 2

Решение

По определению модуля имеем: | | |х| -2| -1| -2 = ± 2, т.е. два уравнения

 

	Решим первое	Решим второе уравнение
	| | | х| -2| -1| -2 = 2	| | | х| -2| -1| -2 = -2
	| | | х| -2| -1| = 4	| | | х| -2| -1| = 0
| х| -2| -1| = ±4		| | х| -2| = 1
	| | х| -2| = 5 и | | х| -2| = -3	х| -2 = ± 1

|х| - 2 = ± 5; ||х| -2| = -3 - не имеет решения; |х| = 3 или |х| = 1

х = ± 3 х = ± 1

|х| = 7              или |х| = -3 - нет решения

х = ±7

Ответ: ±1; ±3; ±7

 

3.Решите уравнения:

а) | | х - 1| - 1| = 2;

б) |х + 1| - |х - 1| = 2

в) |х + 2| + |х| + |х - 2| = 4