Основы планирования МБИ, имеющих целью построение экспериментальных моделей БО или БП

По-прежнему полагаем, что целью МБИ является получение экспериментальной математической модели, которая описывается выражением вида

y = a₁f₁(x) + a₂f₂(x) + … + a_kf_k(x)

где х = (x₁, x₂, …, x_n)^Т – вектор входных переменных.

Ранее было получено выражение для дисперсий

характеризующих точность полученной экспериментальной модели. Чем больше величина этой дисперсии, тем более полученная оценка â_i отличается от истинного значения а_i, тем более грубой является модель. Следовательно, существует два пути повышения точности модели (уменьшения дисперсии ):

1) Уменьшение дисперсии ошибок измерений за счет использования в ходе исследований более точного оборудования

2) Уменьшение дисперсии ошибок измерений за счет соответствующего выбора элементов дисперсионной матрицы С и её диагональных элементов С_ii.

Структура матрицы С зависит только от того, какие именно значения входных переменных использовались в каждом из экспериментов. Следовательно, можно попытаться выбирать значения входных переменных таким образом, чтобы, проведя в дальнейшем с этими входными переменными эксперименты и обработав результаты этих экспериментов, получить модель, которая будет обладать максимальной точностью.

Реализация этой возможности достигается за счет использования методов оптимального планирования экспериментов, целью которых является получение значений входных переменных для каждого из экспериментов, при которых полученная экспериментальная модель будет обладать максимальной точностью.

Введем базовые понятия теории оптимального планирования эксперимента, которые будут использоваться в дальнейшем.

1. Матрицей плана эксперимента Х называется матрица размера N×n, где N – количество планируемых экспериментов, а n – количество входных переменных модели. Строки этой матрицы определяют конкретные значения входных переменных для каждого из экспериментов.

2. Областью планирования эксперимента G_X называется область, которой принадлежат допустимые значения входных переменных. Следовательно, матрица плана эксперимента Х удовлетворяет условию

Чаще всего в качестве области планирования эксперимента используется n-мерный параллелепипед, описываемый наборов условий вида

3. Информационной матрицей плана эксперимента называется матрица М, обратная дисперсионной матрице: М = С^-1 = F^TF, где F – матрица размера N×k, структура которой расписана ранее.

Общие требования к плану эксперимента.

Сформулируем общие требования, выполнение которых является обязательным для проведения исследования с целью получения экспериментальной модели.

1. Планируя исследование, целью которого является получение экспериментальной модели, естественным является желание обойтись как можно меньшим числом экспериментов, учитывая временные и финансовые ограничения на их проведение. Однако количество планируемых экспериментов N не может быть меньше, чем число неизвестных параметров модели k: N ≥ k.

2. Планируя экспериментальное исследование для получения математической модели, необходимо значение входных переменных выбирать таким образом, чтобы определить информационной матрицы был отличен от нуля. |M| ≠ 0.

Если значения входных переменных выбраны неудачно так, что её определитель обращается в ноль это сделает невозможным в дальнейшем обращение этой матрицы, а значит, сделает невозможным получение дисперсионной матрицы, которая связана с информационной: С = М^-1.

В свою очередь невозможность получения дисперсионной матрицы сделает невозможным вычисление оптимальных оценок параметров модели, в расчете которых участвует дисперсионная матрица: â = С∙F^TY.

Приведенные требования являются обязательными для исследований, целью которых является получение экспериментальной модели. Однако эти требования никак не связаны с точностью модели. Для последующего получения модели, обладающей максимальной точностью, используются специальные критерии, называемые критериями оптимальности плана эксперимента.