2021-07-31
50
Предполагается, что целью исследования является получение экспериментальной модели вида
y = a0 + a1x1 + a2x2 + … + anxn,
где, как и прежде, xi – входные переменные модели; а0, а1, …, аn – неизвестные параметры модели.
Считаем, что область планирования эксперимента GX представляет собой n-мерный параллелепипед, задаваемый совокупностью условий вида
Известно, что одновременно А-оптимальным, D-оптимальным, G-оптимальным планом эксперимента для получения такой модели является полный факторный план. Рассмотрим этот план более подробно.
Получение оптимального плана базируется на соображении: планируя экспериментальное исследование с целью получения экспериментальной модели необходимо выбирать такие значения, при которых достигается максимальное по модулю значение выходной переменной. В этом случае искажающее влияние ошибок измерений на значения выходной переменной будет минимальным.
Это соображение мало полезно, если искомая модель описывается нелинейной по входным переменным зависимостью:
Но если модель описывается зависимостью линейной по входным переменным, максимальное по модулю значение выхода всегда будет достигаться на границах отрезков допустимых значений входных переменных. Это соображение приводит к понимаю того, что такое полный факторный план.
Полный факторный план – это план, который содержит все возможные комбинации предельных значений входных переменных.
Доказано, что полный факторный план для построения модели линейной по входным переменным является A, D и G – оптимальности.
Принята следующая кодировка векторов плана: максимальные значения входных переменных обозначаются «+»; минимальные – «–». При этом используются следующая итерационная процедура, позволяющая сформировать полный факторный план для любого произвольного числа входных переменных:
– полный факторный план для (n+1) входной переменной.
l+ – вектор размера (2n×1), состоящий из элементов типа «+». Аналогично, l– – вектор размера (2n×1), состоящий из элементов типа «–».
Как указывалось выше, полный факторный план является оптимальным во всех смыслах для построения моделей по всем переменным. Недостаток – необходимость проведения огромного объема экспериментальных исследований для его реализации (возрастает лавинообразно).
На практике возникает необходимость построения оптимальной в смысле точности модели, плана эксперимента для фиксированного числа экспериментов. Подобный план получил название дробного факторного плана.
Для построения дробного факторного плана типа 2n-p из общего числа входных переменных n произвольным образом выделяется (n-p) основных переменных и p дополнительных. После этого для (n-p) основных переменных строится полный факторный план. Полученный таким образом полный факторный план дополняется p столбцами, соответствующими дополнительным переменным. Их значения определяются с помощью генератора плана. В качестве генератора плана может использоваться любой вариант произведения основных переменных. Число экспериментов, необходимое для реализации дробного плана равно 2n-p.
Проиллюстрируем схему построения дробного факторного плана для трех входных переменных.
n = 3 → искомая модель имеет следующую структуру:
Число неизвестных параметров = 4 → минимальное достаточное число экспериментов Nmin = 4.
Для полного факторного плана N = 23 = 8.
Дробный факторный план является достаточным для построения подобной модели, но требует меньшего числа экспериментов.
Используем 2 основных и 1 дополнительную переменную. Считаем х1 и х2 основными, а х3 – дополнительной. Тогда следуя описанной схеме, построим полный факторный план для основных переменных:
Этот план дополняется столбцом x1. Значения х3 рассчитываются с помощью генератора плана:
Полученный план в смысле точности проигрывает полному факторному плану, но он является наилучшим в смысле точности модели.
Построение дробного факторного плана для четырех входных переменных.
Nmin = 5, N = 24 = 16 экспериментов.
Возможен один вариант, предусматривающий 3 основных (х1, х2, х3) и 1 дополнительную (х4) переменную:
