Критерии оптимальности плана эксперимента

Наибольшее распространение на практике нашли следующие критерии:

1) Критерий А-оптимальности плана эксперимента.

2) Критерий D-оптимальности плана эксперимента.

3) Критерий G-оптимальности плана эксперимента.

План эксперимента Х^*, определенный в области планирования эксперимента G_x, называется А-оптимальным, если он мимими минимизирует след дисперсионной матрицы. Следом матрицы, традиционно обозначаемым как Sp, называется сумма её диагональных элементов.

Таким образом, условия А-оптимальности в формальном представлении может быть выражено следующим образом:

Определим, каким образом условие А-оптимальности плана эксперимента связано с точностью модели.

Ранее были получены оценки точности модели в виде дисперсий оценок параметров модели:

Просуммируем дисперсии .

Таким образом, минимизируя след дисперсионной матрицы, мы тем самым минимизируем сумму дисперсий оценок параметров модели, а значит, повышаем её точность.

План эксперимента Х^*, определенный в области планирования G_x называется D-оптимальным, если он минимизирует определитель дисперсионной матрицы:

В теории оптимального планирования эксперимента показано, что условие минимума определителя дисперсионной матрицы эквивалентно минимизации объема доверительного эллипсоида Е_α, которому с заданной вероятностью α, близкой к единице, принадлежат истинные значения параметров модели.

Здесь:

а – вектор размера (k×1), компонентами которого являются неизвестные нам истинные значения параметров модели.

â – вектор размера (k×1), компонентами которого являются оценки параметров модели, полученные на основе экспериментальных данных с помощью рассмотренного ранее МНК.

К_â – ковариационная матрица вектора оценок параметра модели.

R²(α) – характерный размер доверительного эллипсоида, который является табличной характеристикой и зависит от уровня доверительной вероятности α и размерности пространства параметров k.

Применительно к рассматриваемой задаче доверительный эллипсоид Е_α определяет то, насколько истинное значение параметра отличается от оценки. Чем больше объем этого эллипсоида, тем больше полученные оценки параметра модели отличаются от истинных значений. Чем меньше объем – тем меньше отличие.

Критерий G-оптимальности

План эксперимента Х^*, определенный в области планирования G_x, называется G-оптимальным, если он минимизирует максимальную по всем точкам плана дисперсию оценки выходной переменной с помощью модели.

Итак, данный критерий в качестве характеристики точности модели использует дисперсию σ_у². Эта дисперсия зависит от конкретного набора входных переменных х и плана эксперимента Х. Выражение для этой дисперсии было получено ранее.

В вычислительном плане реализация приведенных выше критериев сводится к необходимости отыскания минимума скалярной функции, аргументами которой являются N×n элементов плана. Решив эту задачу с использованием любого численного метода, найдем оптимальный в некотором смысле план эксперимента, дальнейшее использование которого гарантирует получение модели, обладающей максимальной точностью.

Существует ряд специальных моделей, для которых заранее известна структура оптимального плана эксперимента. Одним из наиболее распространенных примеров таких моделей являются модели, описываемые зависимостями, являющимися линейными по входным переменным.