Тригонометрические функции, их свойства и графики

Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f(x+T)=f(x) (T – период).

Функция синус: y=sin(х)

График данной функции называется синусоида.

Свойства функции синус:

· область определения: все множество действительных чисел x∈(−∞; +∞)

· наименьший положительный период: Т =2π

· функция обращается в нуль, когда x=π⋅k где k∈Z(Z – множество целых чисел);

· область значений: y∈[−1; 1];

· данная функция – нечетная, поскольку y(−x)=−y(x)

· функция является возрастающей при x∈[−π/2+2π⋅k; π/2+2π⋅k], k∈Z и убывающей при x∈[π2+2π⋅k; 3π2+2π⋅k], k∈Z

· функция синус имеет локальные максимумы в точках (π/2+2π⋅k; 1) и локальные минимумы в точках (−π/2+2π⋅k; −1), k∈Z

· функция синус вогнутая, когда x∈[−π+2π⋅k; 2π⋅k], k∈Zи выпуклая, когда x∈[2π⋅k; π+2π⋅k], k∈Z

· точки перегиба имеют координаты (π⋅k; 0), k∈Z

· асимптоты отсутствуют.

1. Функция косинус:y=cos(х)

График данной функции называется косинусоида.

Свойства функции косинус:

· область определения: x∈(−∞; + )

· наименьший положительный период: Т =2π

· функция обращается в нуль, когда x=π/2+π⋅kпри k∈Z (Z – множество целых чисел);

· область значений: y∈[−1; 1]

· данная функция – четная, поскольку y(−x)=y(x)

· функция является возрастающей при x∈[−π+2π⋅k; 2π⋅k], k∈Z и убывающей при x∈[2π⋅k; π+2π⋅k], k∈Z

· функция косинус имеет локальные максимумы в точках (2π⋅k; 1), k∈Z и локальные минимумы в точках (π+2π⋅k; −1), k∈z

· функция косинус вогнутая, когда x∈[π/2+2π⋅k; 3π/2+2π⋅k], k∈Z и выпуклая, когдаx∈[−π/2+2π⋅k; π/2+2π⋅k], k∈Z

· точки перегиба имеют координаты (π/2+π⋅k; 0), k∈Z

· асимптоты отсутствуют.

1. Функция тангенс: y=tg(х)

График данной функции называетсятангенсоида.

 

Свойства функции тангенс:

· область определения: x∈(−π/2+π⋅k; π/2+π⋅k)где k∈ZZ – множество целых чисел);

· Поведение функции тангенс на границе области определения limx→π/2+π⋅k+0tg(x)=−∞, limx→π2+π⋅k−0tg(x)=+∞limx→π2+π·k+0tg(x)=-∞, Таким образом, прямые x=π2+π⋅k k∈Z – вертикальные асимптоты;

· наименьший положительный период: Т =π

· функция обращается в нуль, когда x=π⋅k при k∈Z (ZZ – множество целых чисел);

· область значений: y∈(−∞; +∞)

· данная функция – нечетная, поскольку y(−x)=−y(x)

· функция является возрастающей при (−π/2+π⋅k;π/2+π⋅k), k∈Z;

· функция тангенс является вогнутой при x∈[π⋅k; π/2+π⋅k), k∈Z и выпуклой при x∈(−π/2+π⋅k; π⋅k], k∈Z

· точки перегиба имеют координаты (π⋅k; 0), k∈Z

· наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

1. Функция котангенс: y=ctg(х)

График данной функции называется котангенсоида.

 

Свойства функции котангенс:

· область определения: x∈(π⋅k; π+π⋅k), где Z – множество целых чисел);

Поведение функции котангенс на границе области определения limx→π⋅k+0tg(x)=+∞, limx→π⋅k−0tg(x)=−∞ Таким образом, прямые x=π⋅k,k∈Z – вертикальные асимптоты;

· наименьший положительный период: Т =π

· функция обращается в нуль, когда x=π2+π⋅k при k∈Z (Z – множество целых чисел);

· область значений: y∈(−∞; +∞)

· данная функция – нечетная, поскольку y(−x)=−y(x)

· функция является убывающей при x∈(π⋅k; π+π⋅k), k∈Z

· функция котангенс является вогнутой при x∈(π⋅k; π/2+π⋅k], k∈Z и выпуклой при x∈[−π/2+π⋅k; π⋅k), k∈Z

· точки перегиба имеют координаты (π/2+π⋅k; 0), k∈Z

· наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

Конспект отправить личным сообщением в ВК