Олимпиада по математике «Шанс»

Олимпиада по математике «Шанс»

7 класс

1. Можно ли между некоторыми цифрами числа 55555554444444 вставить знаки "+" и "–" так, чтобы значение выражения было равно 100?

2. Шестую часть книжной полки занимают книги толщиной 12 мм, треть - книги толщиной 15 мм и половину - книги толщиной 18 мм. Все книги разные. Олег меньше чем за месяц прочел их, читая по одной книге в день. Сколько книг стоит на полке (перечислите все возможности)?

 

3. Найти все целые числа n, для которых выполняется равенство

(n –1)(n –3)(n –5)...(n –2011)=(n +2)(n +4)(n +6)...(n +2012).

4. Из прямоугольника 8´10 вырезали одну из внутренних клеток, а оставшиеся клетки разрезали на 7 частей по линиям клеток. Докажите, что из этих частей нельзя сложить прямоугольник.

5. Клетки прямоугольной доски раскрашены в белый и голубой цвета. В любой строке, в которой есть хотя бы одна белая клетка, ровно половина клеток – голубые. В любом столбце, в котором есть хотя бы одна голубая клетка, ровно половина клеток – белые. Докажите, что белых клеток на доске столько же, сколько и голубых.

Олимпиада по математике «Шанс»

8 класс

1. Три брата родились в один и тот же день, но в разные года. Когда старшему из них исполнилось 17 лет, то сумма возрастов всех трех братьев нацело разделилась на 17. Докажите, что когда среднему из братьев исполнится 17 лет, то сумма возрастов всех братьев не будет кратной 17.

2.  Можно ли расставить натуральные числа от 1 до 9 по одному в клетках доски 3´3 так, чтобы среди произведений чисел в каждой строке и в каждом столбце (всего 6 произведений) оказалось не менее трех одинаковых.

 

3.   В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) проведена биссектриса CD. На прямых AC и BC отметили точки E и F соответственно, так что угол CDE – прямой, а отрезки DF и AC параллельны. Докажите, что CE = 2DF.

 

4. Положительное число a таково, что a ⁴ =a+ 1. Докажите, что a ⁷ <a+ 3.

5. Даны 10 точек, являющихся вершинами выпуклого десятиугольника. Можно ли указать 36 треугольников с вершинами в этих точках таким образом, чтобы каждый треугольник имел сторону, не являющуюся стороной других выбранных треугольников?