Понятие красоты в математике

Язык математики – это особый язык науки. Он является количественным языком, в то время как естественный язык, классифицируя предметы, является качественным. Одними из важнейших преимуществ количественного языка выступают краткость и точность. В этом его огромное преимущество и в этом его красота, ибо именно в математическом языке претворяется один из основных признаков красоты в науке: сведение сложности к простоте. Красота вычислений, законченность доказательств, корректность решения задач, логика и законченность форм наглядных пособий, совершенство языка математики всё это эстетика математики.

Математическая красота по мнению И. Г. Зенкевича, В. Т. Ковешикова, В. Л. Минковского – это красота геометрических форм, красивые задачи, устный счет, пропорция, компактность формул, изящность методов решения задач, красота математической логики. Большое значение придается практической деятельности, в которой раскрывается эстетическая значимость понятий пропорциональности, симметрии, порядка, соразмерности, гармонии, формы. В работах И. Г.Зенкевича, В. Т. Ковешникова и др. красивые задачи и поиск изящных методов их решения отмечаются как факторы способствующие воспитанию эстетического вкуса учащихся [3]. Д. фон Нейман говорим, что математика, движима почти исключительно эстетическими мотивами.

Г.И. Саранцев же видит красоту математики в:

· гармонии чисел и форм;

· изяществе математических доказательств;

· универсальности математических методов;

· геометрической выразительности;

· стройности математических формул;

· порядке.

Рассмотрим несколько примеров красоты в математике, которая встречается в жизни.

Консонанс

Древние уверяли, что уже Пифагор знал законы колебания струны монохорда и построения музыкальных созвучий –консонансов (приложение 1), однако запись об этих законах мы находим у пифагорейца Архита из Тарента (428-365 гг. до н. э.), жившего На полтора столетия позже Пифагора. Архит был, безусловно, самым выдающимся представителем пифагорейской школы, другом философа Платона и учителем математика Евдокса (ок. 408 — ок. 355 гг. до н. э.), государственным деятелем и полководцем. То есть две струны издают благозвучное гармоническое созвучие (консонанс) лишь в случае, когда их длины относятся как целые числа первой четверки 1:2 (октава), 2:3 (квинта) и 3:4 (кварта). Закон консонансов впервые облекал в математическую форму физическое явление – звучание струны. Он впервые указывал на существование числовых закономерностей в природе.

Золотое сечение

Всем известно такое понятие как «золотое сечение». Этот термин ввел Леонардо да Винчи. Он обозначает деление отрезка, при котором одна его часть во столько же раз больше другой, во сколько сама она меньше целого. «Золотое сечение» используется в живописи, скульптуре, фото(приложение 2) [6]. Расчеты различных произведений искусства показали, что большая часть классических сооружений подчинена отношениям золотого сечения. Исследователями установлено, что закону золотого сечения подчиняются пропорции Великих пирамид – первого чуда света. С помощью этой «божественной пропорции» выявлены связи между музыкой и архитектурой. Оказалось, что и в архитектуре, и в музыке большое значение придается пропорциям, близким к «золотому сечению». К числу других отношений, создающих привлекательность объекту, относят 1:√2, 1:√3[69, C.6].

Кроме того, в своей статье А. Д. Бендукиндзе говорит, что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если АС:АВ=СВ:АС (1).

В геометрии золотое сечение называется также делением отрезка в крайнем и среднем отношении. Если длину отрезка АВ обозначить через a, а длину отрезка АС – через х, то длина отрезка СВ будет a-х и пропорция (1) примет следующий вид: 𝑥: 𝑎 = (𝑎 − 𝑥): 𝑥(2).

Из этой пропорции видно, что при золотом сечении длина большего отрезка есть среднее геометрическое, или, как часто говорят, среднее пропорциональное длин всего отрезка и его меньшей части: 𝑥 = √𝑎(𝑎 − 𝑥).

Легко сообразить, что верно и обратное: если отрезок разбит на два неравных отрезка так, что длина большего отрезка есть геометрическое длин всего отрезка и его меньшей части, то мы имеем золотое сечение данного отрезка.

В Приложении 3 приводится построение точки Е, делящий отрезок прямой в пропорции золотое сечение.

Из точки В восстанавливается перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Именно эти отрезки использовал Евклид при построении правильного пятиугольника, т.к. каждая из сторон пятиугольной звезды делится другими именно в такой пропорции.

Таким образом, звездчатый пятиугольник также обладает «золотым сечением». Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники, и это отношение будет сохраняться.

 Звездчатый пятиугольник называется пентаграммой. Пифагорейцы выбрали пятиконечную звезду в качестве талисмана, она считалась символом здоровья и служила опознавательным знаком.

В настоящее время существует гипотеза, что пентаграмма – первичное понятие, а «золотое сечение» вторично. Пентаграмму никто не изобретал, ее только скопировали с натуры.

Фракталы

Фракта́л (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — математическое множество, обладающее свойством самоподобия (объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого).

То есть она составлена из нескольких частей, каждая из которых повторяет всю фигуру целиком. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций – копирования и масштабирования.

В конце прошлого столетия понятие фрактала во всей своей красе ворвалось в науку. Книга Б.Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», вышедшая в 1983 году открыла новые горизонты геометрии. Она предстала перед миром во всём своём многоцветном великолепии. В ней автор писал: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой…»

Сущестет несколько видов фракталов: алгебраические, стохастические, геометрические

Первая большая группа фракталов – алгебраические. (Приложение 4) Своё название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул, иногда весьма простых.

Термин «стохастичность» происходит от греческого «предположение». Ярким примером стохастических фракталов является плазма.

Геометрические фракталы по–другому называют классическими, детерминированными или линейными. Фракталы этого типа строятся поэтапно. Сначала изображается основа. Затем некоторые части основы заменяются на фрагмент. На каждом следующем этапе части уже построенной фигуры, аналогичные замененным частям основы, вновь заменяются на фрагмент, взятый в подходящем масштабе. Всякий раз масштаб уменьшается.

Г.И. Саранцев отмечает, что эти примеры свидетельствуют не только о связи математики, живописи, языка, музыки, но и о том, что гармония, стройность, соразмерность являются атрибутом самой природы. Подкреплением этому утверждению является мнение астрономов о том, что Великие пирамиды математически выражают закономерности Вселенной.

Таким образом, красота математики выражается в: гармонии чисел и форм; геометрической выразительности; стройности математических формул; изяществе математических доказательств; порядке; богатстве приложений; универсальности математических методов.

 

 

Выводы по первой главе

1. Изучено понятие эстетического воспитания. Установлено, что под эстетическим воспитанием школьников в процессе обучения математике будем понимать процесс реализации эстетического развития личности.

2. Рассмотрены задачи эстетического воспитания. В них входят такие как обучение умению связывать эстетику с познанием, развитие интересов и стремление к эстетическому освоению мира, умение связывать эстетику с культурой труда и быта.

3. Рассмотрено понятие красоты в математике. Под эстетическим элементом математики понимают ее эстетическое содержание, которое целесообразно искать в особенностях этой же науки. Для математики такими особенностями являются: абстрактность, дедуктивный характер, непреложность выводов, единство частей, совершенство языка, полезность, романтичность истории.

4. Изучены такие примеры эстетики в математике как консонанс, «золотое сечение», фрактал.