2022-02-08
151
4. Вычисление ускорения груза 1 с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме.
Сначала следует записать формулу выражающую теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме. Далее записывается выражение для суммарной кинетической энергии механизма, выраженное через скорость груза 1, которое затем дифференцируется один раз по времени. В результате получается левая часть выражения для теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме, в котором фигурируют переменные 
(скорость груза 1) и а1 (ускорение груза 1). Правая часть будет представлять выражение для суммы мощностей внешних сил, действующих на тела механизма, выраженное через скорость груза 1. В завершении обе части полученного выражения следует разделить на скорость , а затем выразить ускорение груза 1.
5. Вычисление ускорения груза 1 с помощью принципа Даламбера-Лагранжа (общего уравнения динамики).
Механизм, исследуемый в курсовой работе, имеет одну степень свободы, значит, положение его тел будет определяться одной обобщённой координатой. Следовательно, для решения поставленной задачи достаточно составить одно общее уравнение динамики.
Сначала нужно придать грузу 1 возможное перемещение δS и обозначить его на рисунке. Также на рисунке следует обозначить возможные перемещения других тел механизма, имея в виду, что они связаны с перемещением δS.
Затем следует составить общее уравнение динамики, которое будет представлять собой сумму элементарных работ внешних сил и даламберовых сил инерции на возможных перемещениях.
Далее нужно выразить все возможные перемещения через δS, которое затем вынести за скобки. В завершении обе части полученного выражения следует разделить на перемещение δS ≠ 0, а затем выразить ускорение груза 1.
Примеры определения ускорения груза 1 с помощью принципа Даламбера-Лагранжа (общего уравнения динамики) рассмотрены в литературе [1, с. 88-90], [2, с. 290-297].
Методику выполнения курсовой работы с необходимыми пояснениями проиллюстрируем на конкретном примере.
Исходные данные: m1 = 8 кг, m2 = 5 кг, m3 = 10 кг, r3 = 0,3 м, R3 = 0,5 м, 
= 0,2 м, f1 = 0,1, R2 = 0,2 м, α = 60°
Рис. 8. Схема механизма.
Этапы выполнения работы:
1. Изобразить на рисункесхему передачи движения в механизме и с ее помощью выразить характеристики движения всех тел через скорость тела 1.
Рис. 9. Схема передачи движения.
Для заданного механизма схема передачи движения показаны на рис. 9. На этой схеме вначале следует указать вид движения каждой части механизма. После этого, начиная с тела 1, надо изображать скорости в характерных точках, где движение передается от одной части механизма к другой. Для тел, совершающих плоское движение, определяется положение мгновенного центра скоростей (м.ц.с.) и для тел, совершающих плоское и вращательное движение, дуговыми стрелками показываются угловые скорости. Далее все указанные на схеме характеристики движения последовательно выражаются через скорость v1.
Поясним, как это делается для рассматриваемого механизма с помощью схемы передачи движения, показанной на рис. 2.
Участок нити ED движется поступательно, поэтому
Участок нити DB вместе с телом 2 совершает вращательное движение, при этом точки B и D находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, следовательно
Угловую скорость тела 2 вычислим по формуле
Участок нити АВ движется поступательно, поэтому
Угловую скорость тела 3 (плоское движение) определим с помощью формулы
Скорость центра масс катушки (точки С) вычислим по формуле
Запишем полученные результаты для характеристик движения тел механизма в более компактном виде
(1)
Отметим, что полученные соотношения (1) между характеристиками движения не изменяются при движении механизма. Поэтому эти соотношения можно почленно дифференцировать. После однократного почленного дифференцирования по времени этих формул получим аналогичные соотношения между ускорениями:
(2)
2. Рассмотреть каждое из тел механизма в отдельности и записать дифференциальные уравнения движения этих тел с помощью теорем о движении центра масс и об изменении кинетического момента.
Рассмотрим тело 1. Изобразим действующие на него внешние силы: силу тяжести 
, нормальную реакцию опорной поверхности 
, силу трения 
и силу натяжения нити DE 
(см. рис. 10).
Выберем оси х и y и запишем теорему о движении центра масс для тела 1 в проекциях на эти оси, учитывая, что вектор ускорения тела 
будет направлен вниз вдоль наклонной плоскости, а величина силы трения при скольжении тела выражается через коэффициент трения по формуле 
:
(x): 
(3)
(y): 
(4)
Рис. 10.
Рассмотрим далее тело 2. Действующие на него внешние силы: сила тяжести 
, сила натяжения нити DЕ 
, сила натяжения нити АВ 
и две составляющих реакции опорного шарнира О 
показаны на рис. 11.
Рис. 11.
Выберем оси координат х и у и запишем теорему о движении центра масс для тела 2 в проекциях на эти оси, учитывая, что центр масс тела (точка О) находится в покое:
(x): 
(5)
(y): 
(6)
Еще одно уравнение движения для тела 2 запишем с помощью теоремы об изменении кинетического момента, за писанной в проекциях на ось 
, перпендикулярную плоскости рисунка и направленную от нас, учитывая, что момент инерции тела относительно этой оси вычисляется по формуле 
После приведения к общему знаменателю и сокращения на 
последнее уравнение примет вид
(7)
Рассмотрим теперь тело 3. На рис. 12. покажем действующие на него внешние силы: силу тяжести 
, силу натяжения нити АВ , нормальную реакцию опорной поверхности 
и силу трения 
. Отметим, что в данном случае при отсутствии скольжения сила трения не выражается через коэффициент трения и нормальную реакцию.
Рис. 12.
Выберем оси х и у и запишем теорему о движении центра масс в проекциях на эти оси, учитывая, что ускорение центра масс катушки 
направлено вправо вдоль оси х:
(x): 
(8)
(y): 
(9)
Еще одно уравнение движения для тела 3 запишем с помощью теоремы об изменении кинетического момент, записанной в проекциях на ось 
, перпендикулярную плоскости рисунка и направленную от нас, учитывая, что момент инерции тела относительно этой оси вычисляется по формуле 
(10)
3. Решить систему уравнений (3) – (10), найдя из нее ускорение тела 1, а также все реакции внешних и внутренних связей.
Перепишем эту систему уравнений, подставив численные значения заданных величин и, выразив, 
и ас через ускорение тела 1 по формуле (2) (полагаем g = 10м/c2):
8 а1 = 69,28 – 0,1 N1 - TDE (3/)
0 = - 40 + N1 (4/)
0 = X0 + 0,5 TDE - TAB (5/)
0 = Y0 – 50 – 0,87 TDE (6/)
5 а1 = 2 TDE - 2 TAB (7/)
6,25 а1 = 2 TAB - Fтр3 (8/)
0 = N3 - 100 (9/)
0,5 а1 = 0,3 TAB + 0,5 Fтр3 (10/)
Получили систему из 8 уравнений, из которых можно найти 8 неизвестных величин: а1, N1, TDE, X0, Y0, TAB, Fтр3, N3. Решим эту систему уравнений. Из (4/) и (9/) найдем N1 = 40 Н, N3 = 100 Н
Далее выделим из оставшихся уравнений 4 уравнения (3/), (7/), (8/), (10/),
содержащих 4 неизвестные величины а1, TDE , TAB, Fтр3.
8 а1 = 65,28 – TDE (3/)
5 а1 = 2 TDE - 2 TAB (7/)
6,25 а1 = 2 TAB - Fтр3 (8/)
а1 = 0,6 TAB + Fтр3 (10/)
Из (3/) выразим TDE через а1
TDE = 65,28 – 8 а1 (11)
Подставим это значение TDE в уравнение (7/):
.
Выразим отсюда TAB через а1
TAB = 65,28 – 10,5 а1 (12)
Подставим это значение TAB в (8/):
6,25 а1 = 65,28 – 10,5 а1 - Fтр3.
Выразим отсюда Fтр3 через а1
Fтр3 = 65,28 – 16,75 а1 (13)
Подставим теперь (12) и (13) в (9/)
а1 =0,6 (65,28 – 10,5 а1) + 65,28 – 16,75 а1.
Из последнего равенства легко найти а1
а1 
4,34 м/с2.
Далее из (11), (12) и (13) найдем
TDE 30,56 Н,
TAB 19,71 Н,
Fтр3 7,42 Н.
После этого из уравнений (5/), (6/) легко найти X0, Y0:
4,43 Н,
76,47 Н.
Результаты решения сведем в таблицу:
Таблица 3
| а1 | N1 | N3 | TDE | TAB | Fтр3 | 
| 
|
| м/с2 | Н | ||||||
| 4,34 | 30,56 | 19,71 | 7,42 | 4,43 | 76,47 | ||
4. Проверка результатов решения
С помощью теоремы об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме найти ускорение груза 1 и сверить результат с полученным ранее.
Запишем теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме для всего механизма в виде:
, (14)
где Т – кинетическая энергия механизма; 
- сумма мощностей внешних сил.
Отметим, что в данном случае сумма мощностей внутренних сил равна нулю, так как тела считаются абсолютно твердыми, а нити гибкими и нерастяжимыми.
Вычислим кинетическую энергию механизма, как сумму кинетических энергий входящих в него тел
Т = Т1 +Т2 + Т3. (15)
Найдем кинетическую энергию каждого тела, выразив все характеристики движения через скорость по формулам (1).
Тело 1 совершает поступательное движение, для него
(16)
Для тела 2, совершающего вращательное движение
(17)
Тело 3 совершает плоское движение. Его кинетическая энергия найдется по формуле
(18)
Подставим выражения (16) – (18) в (15) и получим формулу для кинетической энергии механизма в виде
(19)
Вычислим теперь производную 
, имея в виду, что в правой части формулы (19), только зависит от времени t, а остальные величины являются постоянными.
(20)
Для вычисления 
изобразим на рис. 13. все внешние силы, действующие на тела механизма.
Рис. 13.
Вычисляя мощности изображенных сил, получим
(21)
Подставим выражения (20) и (21) в формулу (14):
Разделив обе части на и подставив численные значения, найдем
Вывод: полученный результат до сотых долей совпадает с найденным ранее значением а1, что говорит о правильности проведенных расчетов.
