Магнитная индукция в физике. Формулы и примеры

В поля, создаваемого отрезком бесконечно длинного провода L провода в точке A, удаленной от отрезка на расстояние r₀. Сила тока, текущего по проводу, I, углы и заданы.

Сделаем рисунок:

l - длина отрезка провода с током;

dl - длина элемента проводника;

- вектор равный по модулю и совпадающий по направлению с током;

- угол между векторами и .

r₀- длина перпендикуляра, опущенного из точки А на отрезок проводника с током;

- приращение угла при перемещении по проводнику с током на расстояние dl.

Решение:

Эту задачу решим, применяя закон Био-Савара-Лапласа в дифференциальной форме, метод дифференцирования и интегрирования и принцип cуперпозиции. Разобьем отрезок провода на элементарные отрезки длиной dl, для каждого из элементарных отрезков dl в искомой точке А найдем значение dB (согласно закону Био-Савара-Лапласа), а затем по принципу суперпозиции рассчитаем В_А.

Согласно закону Био-Савара-Лапласа в интегральной форме:

(1)

Рассмотрим ДСЕ. . Из ДОА: .

Тогда: . Подставив выражение dl в формулу (1), получаем:

(2)

При перемещении по отрезку угол меняется от до , тогда согласно принципу суперпозиции:

Отсюда: .

Вектор В_А направлен перпендикулярно плоскости листа острием на нас.

Проверка размерности: ^.

Ответ: (Тл).

Пример №2. По сплошному бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса R течет ток плотности j. Рассчитать магнитное поле внутри и вне проводника. Построить график зависимости B = f (r).

Дано:

Решение:

R r₁<R r₂>R j

Проводник не тонкий, тогда закон Био-Савара-Лапласа неприменим. Однако поле обладает симметрией, поэтому применим теорему о циркуляции . Рассмотрим два случая:

1. В качестве замкнутого контура возьмем окружность радиуса r₁, r₁<R. Тогда модуль вектора магнитной индукции В₁ в точке А₁, расположенной на расстоянии r₁ от оси проводника равен:

B₁-? B₂-?

и .

2. Если точку А2 возьмем вне проводника, а в качестве замкнутого контура возьмем окружность радиуса r₂>R, тогда

График зависимости В = f (r)имеет вид:

Ответ: ; .

Пример №3. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R течет ток силой I. Найти индукцию магнитного поля на оси кругового тока: 1) на расстоянии z от плоскости кольца; 2) в центре кольца.

Дано:	Решение:
I R z	1) Применим метод ДИ. Разобьем кольцо на отрезки длиной dl. Согласно закону Био-Савара-Лапласа определим индукцию магнитного поля dB, созданного элементом кольца в точке А. Вектор от элемента тока I , находящегося в точке Д, направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы и .
B_А-? B_о-?

От всех элементов тока кольца будет образовываться конус векторов , а результирующий вектор в точке А будет направлен вдоль оси z. Тогда: , ;

Угол между и радиусом-вектором равен , т.е. .

Для dB_z получаем: ; и

; .

Проверка:

2) В центре кольца z=0, тогда

Ответ: ; .

Пример №4. Тонкая лента шириной l свернута в трубку радиусом R. По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток силой I. Определить индукцию магнитного поля В на оси трубки в двух точках: 1) В средней точке (1);2) В точке, совпадающей с концом трубки (2).

Дано:

Решение:

I R l

Проводник нельзя считать тонким, а теорема о циркуляции неприменима из-за отсутствия симметрии поля. Для расчета применим метод ДИ. Разобьем трубку на столь узкие кольца, чтобы каждое из них можно было считать тонким круговым проводником. Пусть ширина кольца - dx, а расстояние от кольца до точки (1) - x. Сделаем рисунок:

B ₁-? B ₂-?

Тогда элементарный ток, текущий по этому узкому кольцу равен:

, где - ток, приходящийся на единицу длины трубки. Он создает в точке (1) магнитное поле с индукцией dB₁.

За переменную интегрирования удобно выбрать угол , под которым виден радиус каждого кольца из точки (1). Тогда из рисунка следует: ; ; .

Тогда: .

При перемещении по трубке от точки (0) до точки (1) угол меняется в следующих пределах: от до , причем .

; .

Во втором случае: ; ; и тогда

Проверка: ;

Ответ: , .

Пример №5. Два бесконечно длинных, параллельных провода, по которым текут в одном направлении токи силой = 60 А, расположены на расстоянии = 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию в точке, отстоящей от одного проводника на расстоянии = 5 см и от другого на расстоянии = 12 см.

Дано:	Решение:
= 60 A = 10 см = 5 см = 12 см	Для нахождения магнитной индукции в указанной точке А, определим направление векторов индукции и полей, создаваемых каждым проводником в отдельности, и сложим их геометрически, т.е. = + . Абсолютное значение индукции найдём по теореме косинусов
=?
	.	(1)

Значения индукции и выражаются соответственно через силу тока и расстояния и от провода до точки, индукцию в которой вычислим как: = ; = .

Подставив эти выражения в (1) и вынеся из под знака корня, получим:

(2)

Вычислим ; ( =ÐDAC) по теореме косинусов: ,=> ; =0,576

Расчёт: = 286 мкТл;

Ответ: = 286 мкТл.

Пример №6. По двум длинным прямолинейным проводам, находящимся на расстоянии = 5 см друг от друга в воздухе, текут токи силой = 10 А каждый. Определить магнитную индукцию поля, создаваемого токами в точке, лежащей посередине между проводами для случаев:

1. провода параллельны, токи текут в одном направлении (см. рис. 1);

2. провода параллельны, токи текут в противоположных направлениях (см. рис. 2);

3. провода перпендикулярны (см. рис. 3).

Дано:

Решение:

= 5 см

= 10A

Результирующая индукция равна векторной сумме:

= + .

Если и направлены по одной прямой, то векторная сумма может

быть замена алгебраической:

(1)

при этом слагаемые и должны быть взяты с соответствующими знаками.

В данной задаче во всех трёх случаях абсолютные значения В₁ и В₂ одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от проводов, по которым текут равные токи.

(2)

Рассчитаем:

1 случай

Рис. 1

Векторы и направлены по одной прямой, следовательно результирующая индукция В определяется по формуле (1) Приняв направление вверх положительным, вниз - отрицательным: , , подставим в (1)

2 случай

Рис. 2

Векторы и направлены по одной прямой в одну сторону.

Подставим в (1):

3 случай

Рис. 3

Векторы индукции магнитных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами взаимно перпендикулярны.

Результирующая индукция по абсолютному значению и направлению является диагональю квадрата, построенного на векторах и .

По теореме Пифагора:

(3)

= 113 мкТл.

Ответ: 1) = 0; 2) = -160 мкТл; 3) = 113 мкТл.

Пример №7. По проводнику согнутому в виде квадратной рамки со стороной a = 10 см, течёт ток силой = 5 A. Определить магнитную индукцию поля в точке, равноудалённой от вершины квадрата на расстояние, равное длине его стороны.

Дано:	Решение:
= 10 см = 5 A	Искомая магнитная индукция в т. А является векторной суммой индукции , , , создаваемых в этой точке токами, текущими в каждом из четырёх проводов, являющихся сторонами квадрата, т.е.
=?

= + + + .

Из соображений симметрии абсолютные значения всех четырёх индукции одинаковы (поэтому на рисунке изображён только один вектор . В соответствии с правилами буравчика вектор перпендикулярен плоскости ΔADC). Результирующий вектор будет направлен вдоль оси ОО^” и равен сумме проекций всех векторов на направление этой оси, т.е. .

Из рисунка следует, что ,

(1)

Магнитная индукция поля, создаваемая отрезком проводника:

(2)

где I – сила тока в проводнике; и – углы, образованные направлением тока и радиус-векторами, проведёнными от концов проводника к т. А (), следовательно , тогда: