Алгебраические операции над матрицами

Алгебраические операции над матрицами

 

Такими операциями считаются следующие 3 операции:

1. Сложение матриц

2. Умножение матрицы на число

3. Умножение матрицы на матрицу

Первые две операции настолько просты, что мы не будем

формулировать определений, а рассмотрим сразу примеры, из которых сразу будет ясно, как выполняются эти действия.

Примеры:

1.  (размеры всех матриц должны быть одинаковы, складываются соответствующие элементы матриц)

2.  (все элементы матрицы умно-жаются на данное число)

Отметим свойства этих операций, вытекающие из определе-ния:

                А + В = В + А

              а∙(А + В) = а∙А + а∙В

               (а + b)∙A = a∙A + b∙A

(Для любых матриц А, В и чисел a, b). (Заметим, что операция вычитания матриц получается как комбинация из этих двух, т.е. второе слагаемое умножается сначала на –1 и затем складывается с первым).

Теперь разберёмся с более сложной операцией – умножением матрицы на матрицу. Чтобы общее определение было более ясным и простым, сначала определим умножение матрицы-строки на матрицу-столбец того же размера. Итак, по определению:

Например,

Теперь рассмотрим общий случай. Пусть даны 2 матрицы:

 

 , ,

A – размера m x n, В – размера n x k. Тогда произведение этих матриц С = А∙В имеет размер m x k,

  

, c_ij  = произведению –ой строки матрицы А на –й столбец матрицы В (как умножать строку на столбец у нас уже определено, чтобы их длины совпадали, в определении указывается, что число столбцов первой матрицы равно числу строк второй).

Примеры

1.  

2.

3. , и наоборот,

4.

       Свойства операции умножения матриц

1. А∙В ≠ В∙А в общем случае, это видно из примеров 3), 4).

2. А∙(В + С) = А∙В + А∙С, (В + С)∙А = В ∙ А + С ∙ А (доказывается несложно, опускаем)

3. А∙(В ∙ С) = (А∙В)∙С (доказательство можно провести непосредственно, установив, что размеры матриц в обеих частях равенства одинаковы, и что соответствующие элементы также одинаковы)

Сформулированное определение может показаться надуманным, искусственно созданной конструкцией. Чтобы этого не случилось, проясним «происхождение» этой операции и заодно станет очевидным и последнее свойство.

Предположим, что происходит переход от переменных (х, у) к переменным , и далее, от  к  по формулам

 ; ,

т.е. , .

Тогда переход от (х, у) к  будет происходить по формулам

И вот тут мы замечаем, что этот переход произошёл согласно определению произведения матриц, т.е.

.