Матрицы и операции над ними

 

Матрицы и операции над ними

 

Определение. Матрицей наз. прямоугольная таблица чисел.

Примеры: , .

Существуют понятия строки матрицы, столбца матрицы.

Количество строк и столбцов матрицы наз. её размерами. Говорят, что матрица имеет размеры m x n, если она имеет m строк и n столбцов. В зависимости от размеров, матрицы бывают квадратными, прямоугольными, матрица-строка, матрица-столбец, одно число можно представлять как матрицу размера 1 х 1.

Обозначаются матрицы обычно большими буквами А, В, С и т.д. Числа, из которых составлена матрица, наз. её элементами.

Элементы матриц обозначаются малыми буквами, иногда с индексами, указывающими номер строки и номер столбца. Используются обозначения ,

 

или А = ||а_ij||, i = 1, …, m; j = 1, …, n.

Матрицы возникают при решении различных задач. Например, при решении систем линейных уравнений. Предположим, что требуется решить систему уравнений:

                       

Этой системе уравнений соответствуют сразу 4 матрицы:

- матрица коэффициентов системы.

- расширенная матрица системы.

 - столбец неизвестных.

- столбец свободных членов.

(В дальнейшем при рассмотрении систем линейных уравнений будем пользоваться этими терминами).

В зависимости от значений элементов, выделяют следующие матрицы:

1.  - нулевая матрица (все элементы = 0)

 

2. - единичная матрица, квадратная матрица с единицами по главной диагонали, остальные элементы = 0. Обычно обозначается Е.

3. Верхнетреугольная и нижнетреугольная матрицы вида

 и - все элементы ниже или соответст-венно выше главной диагонали = 0, * - означает число, которой может быть ≠ 0 (хотя может быть и = 0).

4. Симметрические матрицы – квадратные матрицы, для которых элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны, т.е. a_ij = a_ji для всех номеров строк i и номеров столбцов j.

Для симметрической матрицы элементы строки и элементы столбца одни и те же и записаны в том же порядке, если совпадают номера строки и столбца.

Пример:  - симметрическая матрица.