Переключательные функции одного аргумента

Переключательные функции одного и двух аргументов

Существует четыре переключательные функции одного аргумента, которые приведены в табл. 1.3.

Таблица 1.3

Переключательные функции одного аргумента

x f(x)			Условное обозначение	Название функции
f0(x)				Константа нуль
f1(x)			x	Переменная x
f2(x)				Инверсия x
f3(x)				Константа единица

Функция f₀(x) тождественно равна нулю. Она называется константой нуль и обозначается f₀(x)= 0.

Функция f₁(x) повторяет значения аргумента и поэтому тождественно равна переменной x.

Функция f₂(x) принимает значения, противоположные значениям аргумента: если x =0, то f₂(x) =1; если x =1, то f₂(x) =0. Эту функцию называют инверсией x или отрицанием x и вводят для нее специальное обозначение f₂(x) = .

Функция f₃(x) тождественно равна единице. Она называется константой единица и обозначается f₃(x)= 1.

1.2.2. Переключательные функции двух аргументов. Существует шестнадцать различных переключательных функций двух аргументов, каждая из которых определена на четырех наборах. Эти функции представлены в табл. 1.4.

В число шестнадцати переключательных функций входят функции, рассмотренные в п.1.2.1:

f₀(x,y) = 0 — константа нуль;

f₁₅(x,y) = 1 — константа единица;

f₃(x,y) = x — переменная x;

f₅(x,y) = y — переменная y;

f₁₂(x,y) = — инверсия x;

f₁₀(x,y) = — инверсия y;

Таблица 1.4

Переключательные функции двух аргументов

x					Название функции	Обозначение
y
f0(x,y)					Константа нуль
f1(x,y)					Произведение (конъюнкция)	x∙y; xÙy;x&y
f2(x,y)					Функция запрета по y	xDy
f3(x,y)					Переменная x	x
f4(x,y)					Функция запрета по x	yDx
f5(x,y)					Переменная y	y
f6(x,y)					Сумма по модулю 2 (логическая неравнозначность)	xÅy
f7(x,y)					Логическое сложение (дизъюнкция)	x+y; xÚy
f8(x,y)					Операция Пирса (стрелка Пирса)	x¯y
f9(x,y)					Эквивалентность (логическая равнозначность)	x~y
f10(x,y)					Инверсия y
f11(x,y)					Импликация от y к x	y®x
f12(x,y)					Инверсия x
f13(x,y)					Импликация от x к y	x®y
f14(x,y)					Операция Шеффера (штрих Шеффера)	x½y
f15(x,y)					Константа единица

Рассмотрим некоторые переключательные функции двух аргументов.

Функция f₁(x,y) называется конъюнкцией, или логическим умножением. Таблица истинности этой функции совпадает с таблицей умножения двух одноразрядных двоичных чисел. Можно ввести функцию n аргументов, соответствующую произведению n одноразрядных двоичных чисел. Такая переключательная функция равна единице тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны единице. Для конъюнкции справедливы следующие соотношения:

x × 0 = 0;

x × 1 = x;

x × x = x;

x × y = y × x;

x × = 0.

Функция f₇(x,y) называется дизъюнкцией или логическим сложением. Эта функция равна нулю только в том случае, когда все ее аргументы равны нулю. Можно ввести функцию n аргументов, соответствующую логическому сложению n одноразрядных двоичных чисел. Такая переключательная функция равна нулю тогда и только тогда, когда все ее аргументы равны нулю. Для конъюнкции справедливы следующие соотношения:

x Ú 0 = x;

x Ú 1 = 1;

x Ú x = x;

x Ú y = y Ú x;

x Ú = 1.

Таблица истинности функции f₆(x,y) совпадает с таблицей сложения двух одноразрядных двоичных чисел по модулю два. Можно ввести функцию n аргументов, соответствующую сумме по модулю два n одноразрядных двоичных чисел. Такая переключательная функция определяется следующим условием: она равна единице, если число аргументов, равных единице, нечетно, и равна нулю, если число таких аргументов четно. Приведем некоторые соотношения для суммы по модулю два:

x Å 0 = x;

x Å 1 = ;

x Å x = 0;

x Å x Å x = x;

x Å y = y Å x.

Рассмотренные шестнадцать функций двух аргументов (будем называть их элементарными) позволяют строить новые переключательные функции следующим образом:

· путем перенумерации аргументов;

· путем подстановки в функцию новых функций вместо аргументов.

Функцию, полученную из функций f₁, f₂, …, f_k путем применения (возможно многократного) этих двух правил, будем называть суперпозицией функций f₁, f₂, …, f_k. Например, имея элементарные функции инверсии, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, запрета, сложения по модулю два, можно составить новую переключательную функцию:

f (x,y,z) = ((Úy)Dz)Å((y®z)×x).

Используя таблицы, определяющие элементарные функции, можно задавать в виде таблицы любую переключательную функцию, являющуюся суперпозицией этих функций.

Пример 2.1. Представить в виде таблицы функцию

f (x,y,z) = ((Úy)Dz)Å((y®z)×x).

Решение. Функцию f (x,y,z) будем представлять последовательно, записывая в столбцы табл. 1.5 промежуточные результаты, получаемые после выполнения каждой операции:

Таблица 1.5

Таблица истинности функции f (x,y,z) = ((Úy)Dz)Å((y®z)×x).

x	y	z		(Úy)	(Úy)Dz)	(y®z)	(y®z)×x	((Úy)Dz)Å((y®z)×x)