Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями

Во многих случаях удается сразу определить положение главных центральных осей. Если фигура имеет ось симметрии, то она является одной из главных центральных осей, вторая прохо­дит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой. Ска­занное следует из того обстоятельства, что относительно оси симметрии и любой оси ей перпендикулярной, центробежный момент инерции равен нулю.

Используя формулы (5) — (7), можно показать, что если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, то у этого сечения любая центральная ось является главной и все главные центральные моменты инерции одинаковы (круг, квадрат, шестиугольник, равносторонний треугольник).

Действительно, предположим, что для какого-то сечения оси х и у — главные центральные оси и, кроме того, I_x=I_y. Тогда из формул (5) и (6) получим, что I_x = I_y = I_x1 = I_y1, аизформулы (7) убедимся, что I_x1y1 =0, т. е. любыеоси x₁ и y₁ являются главными центральнымиосями инерциитакой фигуры.

5. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ЦЕНТРОБЕЖНЫМИ МОМЕНТАМИ ИНЕРЦИИ ОТНОСИТЕЛЬНО ДВУХ СИСТЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ОСЕЙ

Пусть оси x₀y₀ —центральные оси (рис. 3) и момент инерции I_x0y0 известен. Найдем центробежный момент инерции относительно осей х ₁и у ₁.

Рисунок 3

Из рисунка видно,что

х ₁ =x₀+b, у ₁ =у₀+а.

Следовательно

, (12)

или

I_x1y1=I_x0y0+Aab. (12а)

Второй и третий интегралы в правой части равенства (12), представляющие статические моменты относительно центральных осей, равны нулю. Итак, центробежный момент инерции относительно системы взаим­но перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих централь­ных осей плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

Если оси x₀ и y₀ являются центральными главнымиосями, то относительно этих осей I_x0y0 =0 и формула (12а)упрощается:

I_x1y1=Aab. (13)

Для сложной фигуры, состоящей из п простых фигур,

. (14)

(при условии, что собственные центральные оси каждой фигу­ры являются главными осями).

Литература

Основная

1.Беляев Н.М. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1976г.

2. Дарков А.В., Шпиро Г.С. Сопротивление материалов, «Высшая школа», М., 1975г.

3. Васильев В.З. Краткий курс сопротивления материалов с основами теории упругости, издание «Иван Феодоров», Санкт-Петербург, 2001г.

4. Смирнов А.Ф. Сопротивление материалов, «Высшая школа» М., 1975г.

Дополнительная

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов, «Наука», М., 1975г.

2. Таран В.И. Сопротивление материалов. Пособие по решению задач, издание «Демеу» Алматы, 1992, 204 с.

3. Качурин В.К. Сборник задач по сопротивлению материалов, «Наука», М., 1972г, 430с.

ЛЕКЦИЯ 7

ТЕМА: СДВИГ

ПЛАН ЛЕКЦИИ:

7.1 Понятие о сдвиге

7.2 Деформации при сдвиге. Закон Гука

7.3 Напряжения при сдвиге

7.4 Характеристики упругих свойств изотропного материала