Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А
и n вспомогательных определителей , которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Формулы Крамера имеют вид:
. (5.4)
Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
.
Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители, то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы , а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.
Пример 2.14. Решить методом Крамера систему уравнений:
Решение. Главный определитель этой системы
,
значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители , получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при xi, столбцом из свободных членов:
, ,
, .
Отсюда , , , , решение системы ‑ вектор .