Пример расчета собственных частот

На простом примере рассмотрим как изменяется значение собственной частоты при изменении характеристик самой системы.

Как следует из (32), собственная частота является функцией жесткости системы EI, массы m, геометрических размеров (длины l) и условий закрепления. Поэтому в качестве примера рассмотрим труб провод-балку длиной 25 м, идеально шарнирно опертый в обеих точках опоры.

Рассмотрим четыре варианта трубопровода со следующими геометрическими размерами: Æ1420x16,5 мм, Æ1220x12 мм, Æ1020x14 мм и Æ1020x10 мм. Каждый из этих трубопроводов может транспортировать поток со следующими значениями плотности: 50 кг/м³,200 кг/ м³, 500 кг/ м³ и 650 кг/ м³.

Согласно СНиП 2.05.06-85 Е = 206000 МПа или 206000х10⁶ Па.

Используем только номинальные значения геометрических параметров и механических характеристик материала трубы, норматива установленные СНиП, и не учитываем возможность их отклонения с номинального значения. Считаем также поперечное сечение труб полым идеальным кольцом и не учитываем возможную овальность поперечного сечения.

Момент инерции поперечного сечения трубы

,

где D - внешний диаметр трубы;

D_i - внутренний диаметр трубы, D_i = D - 2h (h - толщина стенки трубы).

В рассматриваемом случае значения внутреннего диаметра трубопровода будут соответственно равны 1387 мм, 1196 мм, 992 мм 1000 мм.

Определим момент инерции и жесткость поперечного сечения для труб различного диаметра

труба Æ1420x16,5 мм - ,

труба Æ1220x12 мм - ,

труба Æ1020x14 мм - ,

труба Æ1020x10 мм - ,

Суммарная масса единицы длины трубопровода определяется из условия

,

где - масса единицы длины трубы, [кг/м];

- масса транспортируемого потока в единице длины трубопровода, [кг/м].

Масса единицы длины трубы

,

где - плотность материала стенки трубы, р = 7850 [кг/м³];

- площадь кольца трубы,

В рассматриваемом случае площадь кольца трубы соответственно равна72,7×10^-3 м², 45,5×10^-3 м², 44,2×10^-3 м² и 31,7×10^-3 м². Тогда масса единицы длины трубы mp соответственно равна 570,7 [кг/м], 357,2 [кг/м], 347,0 [кг/м] и 249,0 [кг/м].

Масса транспортируемой среды в единице длины трубопровода

где - плотность транспортируемого потока;

- площадь внутреннего сечения трубы,

.

Для рассматриваемых трубопроводов площадь внутреннего сечения соответственно равна 1,51 м², 1,12 м², 0,772 м² и 0,785 м². Тогда масса потока на единицу длины трубопровода зависит от двух аргументов - плотности потока и геометрических размеров трубы. Поэтому значения в зависимости от этих величин удобно привести виде табл. 1.