В качестве первой технической системы рассмотрим поперечную вибрацию участка трубопровода между двумя опорами.
Любая расчетная схема технической системы определяется набором принимаемых во внимание (учитываемых в расчете) силовых факторов и математической моделью, идеализирующей реальную механическую систему. Определение набора действующих на трубопровод силовых факторов и их количественных величин является самостоятельной сложной задачей, выходящей за пределы нашего курса. В качестве же математической модели трубопровода могут быть использованы трехмерная постановка, двухмерная (та или иная теория оболочек) и одномерная (обычно называемая балочной или стержневой). Выбор математической модели определяет набор учитываемых в расчете или отбрасываемых компонент тензора напряжений материала трубы. Количественной характеристикой, определяющей отношение отбрасываемых и учитываемых компонент и, следовательно, границ применения математических моделей, является характерный масштаб изменения деформаций. В данной задаче этим характерным масштабом является длина полуволны поперечной вибрации трубопровода. Пока для упрощения вычислений в качестве расчетной схемы трубопровода примем балочную (стержневую) теорию, то есть будем рассматривать ситуацию, когда длина полуволны вибрации трубопровода превышает диаметр трубы больше, чем на порядок.
|
|
Будем также пока считать, что трубопровод совершает вибрацию при отсутствии внешней нагрузки и демпфирования, то есть совершает свободные колебания под воздействием собственного веса и сил упругой реакции материала трубы. В рамках принятой расчетной схемы уравнение движения незагруженного трубопровода имеет вид
, | (26) |
где - функция перемещения нейтральной оси трубопровода;
х - координата, отсчитываемая по оси трубопровода от левой опоры;
Е - модуль Юнга материала трубы;
I - момент инерции поперечного сечения трубы;
EI - жесткость поперечного сечения трубы;
m - суммарная масса единицы длины трубопровода;
- сила упругой реакции материала трубы;
- сила инерции суммарной массы трубопровода.
После введения безразмерной координаты (l - длина трубопровода - балки между опорами) уравнение (26) примет вид
, | (27) |
Таким образом получили дифференциальное уравнение в частных производных по безразмерной координате x и времени t относительно неизвестной функции перемещения нейтральной оси трубопровода y=y(x,t).
Согласно методу разделения переменных Фурье общее решение уравнения (27) с учетом (23) может быть получено в виде (демпфирование не учитывается, поэтому а=0)
|
|
, | (28) |
в котором являются ортогональными фундаментальными функциями, отвечающими условию
при .
После подстановки (28) в уравнение (27) получим для каждой функции обыкновенное дифференциальное уравнение (индекс i опускаем)
, | (29) |
где
. | (30) |
Решение уравнения (29) будет иметь вид
. | (31) |
которое удобно записать в виде
. | (31) |
где
Обычно функции (i=1,...,4) называют функциями Крылова. произвольные постоянные А, В, С и D определяются из граничных условий. Эти условия могут быть, например, следующими:
для x = 0 и x = 1 – шарнирно опертый конец,
для x = 0 и x = 1 – жестко заделанный конец,
для x = 0 и x = 1 – свободный конец,
Как видно из (31), функции формы в качестве аргумента содержат безразмерную координату x и величину r = r(w). Таким образом, функции формы зависят от соответствующих им собственных частот.
Из (30) получаем зависимость угловой частоты собственных колебаний трубопровода-балки:
. | (32) |
где n ‑ номер формы вибрации (n = 1,2,3,...).
Значения угловой частоты зависят от коэффициента rn, величина которого определяется в зависимости от условий закрепления и формы колебаний:
идеальный шарнир в обеих опорах: rn = rp (n=l,2,3,...);
идеально жесткое закрепление в обеих опорах:
r1 = 4,73,
r2 = 7,8532,
при n³3.
Таким образом, одной из характеристик механической системы является собственная частота (спектр собственных частот), величина которой зависит от жесткости, массы, геометрических размеров и условий закрепления системы. Возможный диапазон изменения собственной частоты при изменении ее аргументов определяется для каждого конкретного случая.