Рассмотрим в начале работу цифрового тракта. 10 страница

(6.7)

а для нелинейной системы

При этом в данном случае число типов M однократных отказов равно числу параметров системы.

Применим рассмотренные в предыдущем разделе алгоритмы при диагностировании в пространстве параметров. Пусть параметр принадлежит к числу диагностируемых. Разделим интервал значений параметра на l подынтервалов . С каждым из подынтервалов соотнесем наблюдатель, основанный на модели системы при значении параметра . Будем учитывать, что в рассматриваемом случае наблюдатели не формируют оценку величины отказа непосредственно, однако она может быть получена в соответствии с выражением:

,

где , - номинальное значение параметра .

Проанализируем эффективность алгоритмов диагностирования с независимыми и взаимодействующими наблюдателями на следующем примере.

Пример 6.3. Рассмотрим в качестве примера модель водяной торпеды, описываемую нелинейным уравнением:

,

где – момент инерции торпеды, – угол поворота торпеды.

Для этого примера в среде Simulink было проведено моделирование задачи диагностирования одиночного отказа в пространстве параметров с использование двух алгоритмов – независимые наблюдатели и взаимодействующие наблюдатели, соотносимые с техническими состояниями. Моделировался перемежающийся отказ в виде последовательности отклонений параметра от номинального значения и возвращения к нему (первые диаграммы на рис. 6.19 а и б). На вход системы подавался синусоидальный сигнал с амплитудой 0,5. Наибольшую эффективность продемонстрировал второй алгоритм. На рис. 6.18б приведены соответствующие ему результаты моделирования (коэффициенты уверенности К₀ и К₁ для работоспособного и неработоспособного технических состояний) задачи диагностирования. Видно, что в отличие от случая независимых наблюдателей (рис. 6.19а) средства диагностирования формируют значения коэффициентов уверенности, адекватные реальным техническим состояниям.

Чтобы количественно оценить степень адекватности результатов в обоих случаях (примеры 6.2 и 6.3), по полученным реализациям были рассчитаны вероятности правильного диагностирования. При этом анализировались временные интервалы, на которых система была неработоспособна. Для них вычислялась суммарная длительность подынтервалов, где происходило ошибочное формирования сигнала о работоспособном состоянии (коэффициент уверенности для работоспособного состояния достигал установленного порогового значения А = 0.9). Результирующая вероятность определялась как отношение этой величины к суммарной длительности рассматриваемых интервалов неработоспособности. Таким образом, для метода с независимыми наблюдателями были получено значение P = 0,09, а для метода с взаимодействующими наблюдателями – P = 0,8.

Кроме приведенных характеристик, по результатам моделирования для обоих методов были определены минимальные величины диагностируемых отказов, которые определялись в зависимости от величины входного сигнала. Эти результаты, как и предыдущие, свидетельствуют о преимуществах метода, использующего взаимодействующие наблюдатели.

Принятие решений об отказах с учетом их эквивалентности и доминирования

Правила принятия решений об отказах в основном уже были рассмотрены в подразделе 6.2. Однако, как будет показано ниже, в некоторых случаях использование описанных правил будет приводить к ошибкам диагностирования, когда не бракуется отказавшая система. Ошибки будут возникать в тех случаях, когда среди рассматриваемых отказов есть эквивалентные или связанные отношением доминирования. Введем на множестве отказов отношения эквивалентности и доминирования [31], предварительно напомнив определение эквивалентных динамических систем, т.е. отношения эквивалентности на множестве динамических систем.

Определение 6.1. Две динамические системы Σ₁ и Σ₂ эквивалентны, если для каждого внутреннего состояния системы Σ₁ найдется такое внутреннее состояние системы Σ₂, находясь в которых, обе системы в ответ на одинаковые входные сигналы генерируют одинаковые выходные сигналы.

Определение 6.2. Два отказа и системы Σ эквивалентны, если соответствующие им неисправные модификации Σ₁ и Σ₂ системы Σ эквивалентны.

Предположим теперь, что в рассматриваемый перечень отказов вошли два эквивалентных отказа и . При появлении в системе одного из этих отказов соответствующие этим отказам наблюдатели будут генерировать одинаковые невязки низкого уровня. В результате и соотносимые с этими отказами коэффициенты уверенности также будут одинаковыми и не превосходящими уровня 0,5, т.к. по построению сумма коэффициентов уверенности должна равняться единице. В связи с тем, что назначаемое в правиле принятия решения для коэффициентов уверенности пороговое значение A обычно близко к единице (например, A = 0,9), сигнал об отказе не будет сформирован, и произойдет ошибка диагностирования.

Таким образом, можно утверждать, что среди отказов, включаемых в рассматриваемый перечень, не должны содержаться эквивалентные, а точнее, от каждого множества эквивалентных отказов в рассматриваемый перечень должен входить лишь один представитель.

Перейдем к обсуждению отношения доминирования на множестве отказов. Физический смысл этого отношения сводится к следующему. В случае присутствия в системе двух отказов, связанных отношением доминирования, доминирующий отказ полностью маскирует проявление в работе системы доминируемого отказа. Упрощенно отношение доминирования можно определить как частичную эквивалентность, а точнее, как эквивалентность на некоторой (но не любой) входной последовательности. В результате, если на входе системы присутствует эта последовательность, то отказы, принадлежащие отношению доминирования и входящие в перечень рассматриваемых отказов, не будут обнаружены по причине, рассмотренной выше для эквивалентных отказов. Таким образом, также возникает ошибка диагностирования. При появлении на входе системы последовательности, на которой эти отказы не эквивалентны, произойдет правильное обнаружение и диагностирование присутствующего в системе отказа. Таким образом, ошибка диагностирования будет существовать, пока на входе системы существует не различающая отказы последовательность.

Избежать ошибок диагностирования можно, поступив также как и в случае эквивалентных отказов, т.е. оставив из каждой пары таких отказов лишь одного представителя – доминирующий отказ. Однако при этом отказ, исключенный из рассматриваемого перечня, будет неправильно диагностироваться. Возможен также и другой подход, когда заданное множество рассматриваемых отказов разбивается на подмножества таким образом, чтобы каждое из подмножеств не содержало отказов, находящихся в отношении доминирования. Для каждого из подмножеств по описанным в предыдущих подразделах правилам формируются свои средства диагностирования. Результаты диагностирования, получаемые независимо для каждого из подмножеств отказов, далее должны дополнительно анализироваться в случае их одновременного срабатывания при отказах, связанных отношением доминирования.

Остается неосвещенным вопрос о том, каким образом определять отказы, принадлежащие отношению доминирования. Рассмотрим этот вопрос, не претендуя на исчерпывающее решение вопроса. Для простоты рассмотрим случай диагностирования в пространстве параметров. Ясно, что необходимым условием диагностируемости отказа является чувствительность выхода диагностируемой системы к этому отказу. Причем, если от анализируемого параметра зависят только матрицы F и G, то для диагностируемости необходимо, чтобы вектор состояния системы был чувствителен к значению рассматриваемого параметра. Продифференцировав по параметру обе части уравнения динамики в (6.1), перейдем к уравнению чувствительности системы:

,

где – функция чувствительности по параметру . Очевидно, что ненулевая чувствительность системы возможна лишь при ненулевых производных и . Именно эти матрицы и составляют основу дальнейшего анализа.

Проанализируем уравнение динамики из (6.1). Для этого разложим матричные функции и в ряды Тейлора по компонентам вектора параметров в окрестности номинальной точки и ограничимся их линейными частями:

,

,

где использованы следующие обозначения: – номинальное значение i-й компоненты вектора , . Обозначим . Подставим полученные выражения в уравнение динамики из (6.1):

.

Рассмотрим иллюстративный пример.

Пример 6.4.

Пусть динамическая система характеризуется следующими матрицами:

.

Определим для этой системы матрицы :

Итак, набор матриц характеризует чувствительность системы к соответствующим отказам. Определим на этом множестве отношение частичного порядка по следующему правилу. Пусть каждый ненулевой столбец матрицы представляет собой линейную комбинацию столбцов матрицы . Будем обозначать этот факт . Поскольку между множествами матриц и отказов существует взаимнооднозначное соответствие, то определенное отношение переносится и на множество отказов. Будем говорить об отношении доминирования на множестве отказов и записывать , если .

Нетрудно видеть, что, если диагностируемая система на некоторой входной последовательности чувствительна к отказу , то она будет чувствительна на этой входной последовательности и к отказу , и наоборот, если система на некоторой входной последовательности нечувствительна к отказу , то она будет нечувствительна на этой входной последовательности и к отказу .

Если отношение включения между матрицами выполняется в обе стороны и , то отказы эквивалентны.

Пример 6.5. Построим для примера 6.4. граф отношения доминирования (рис.6.20.). На этом графе в частности отмечено, что отказы и эквивалентны.

Нечеткое техническое состояние. В заключении настоящего подраздела обсудим еще один аспект ФД, связанный с понятием технического состояния системы или элемента. Это понятие мы широко использовали на протяжении всего предыдущего текста и при этом понимали под техническим состоянием характеристику системы, которая могла принимать ряд (лингвистических) значений: «работоспособное», «неработоспособное при отказе 1», «неработоспособное при отказе 2» и т.д. Сначала о традиционной трактовке этого понятия. Она иллюстрируется на рис. 6.21 а. Здесь предполагается, что техническое состояние системы определяется одним параметром Θ, а зоны работоспособных и неработоспособных состояний системы (значений параметра Θ) отмечены прямоугольниками разного цвета. Принципиальным является то, что эти зоны не пересекаются. Однако возможен и другой взгляд на понятие технического состояния, основанный на понятии нечеткого множества (рис. 6.21 б). В этом случае множества работоспособных и неработоспособных технических состояний описываются как нечеткие и пересекающиеся с соответствующими функциями принадлежности. В результате можно говорить о «нечетком» техническом состоянии и, как следствие, о «нечетком» отказе, под который понимается переход из работоспособного нечеткого технического состояния в неработоспособное. При этом при любом значении определяющего параметра Θ = Θ´ техническое состояние объекта может быть соотнесено как с нечетким множеством работоспособных , так и с нечетким множеством неработоспособных состояний.

Представляется, что этот взгляд достаточно хорошо отражает сложившийся на практике инженерный подход. Действительно, инженер, руководствуясь значением параметра, который определяет техническое состояние объекта, может считать, что объект работоспособен или неработоспособен, если значение этого параметра находится в некотором диапазоне. Причем в зависимости от конкретного значения этого параметра инженер может считать, что объект работоспособен и соответственно
неработоспособен в разной степени.

Учет этой позиции возможен и при использовании описанных выше алгоритмов ФД путем перехода к описанию отказов с помощью нечетких множеств, а именно, в отношении переменных , моделирующих отказ, предполагать, что они описывается лингвистическими переменными с двумя термами – «работоспособно» и «неработоспособно», для которых заданы соответствующие функции принадлежности и или и Далее эта информация может быть использована при вычислении обобщенных степеней принадлежности, где появляется в этом случае дополнительный сомножитель:

6.5. Функциональное диагностирование информационных отказов в интегрированной навигационной системе

В настоящем подразделе мы завершаем обсуждение вопросов функционального диагностирования, но в отличие от предшествующего материала речь пойдет о диагностировании не аппаратурных, а информационных отказов. При этом вниманию читателя предлагается очень короткое рассмотрение основной идеи без углубления в непростую математику, составляющую основание известных решений [9]. Информационный отказ был определен в разделе 3. Напомним, что ситуация информационного отказа навигационной системы характеризуется возникновением скачка погрешности выработки навигационных параметров при отсутствии аппаратурных отказов. Таким образом, диагностирование информационных отказов предполагает определение и анализ погрешности. Оценить погрешность выработки некоторого навигационного параметра можно только, располагая его эталонным значением. На практике таким эталоном (конечно, неидеальным) может служить информация от другой навигационной системы. Для получения хорошей оценки погрешности диагностируемой системы желательно, чтобы эталонная система была бы, как можно, точнее. Однако для целей диагностирования можно воспользоваться и системой, аналогичной диагностируемой. Так на рис. 6.22 для ФД некоторой ИНС используется аналогичная ей ИНС. Сформируем разность соответствующих выходных параметров этих ИНС. Значение разности не будет зависеть от динамики изменения рассматриваемого навигационного параметра (по этой причине подход называется инвариантным). Так, например, для разности значений широты и , выработанных двумя разными ИНС с погрешностями и соответственно, имеем:

,

т.е. ее значение не зависит от истинного значения широты и равно разности индивидуальных погрешностей выработки широты разными ИНС. Таким образом, возникает возможность анализа реализаций погрешностей, а точнее, реализаций разности погрешностей с целью диагностирования возникающих скачков. Тот факт, что мы имеем дело с разностью погрешностей, а не с отдельной погрешностью, не является существенным, поскольку целью диагностирования является обнаружение скачков погрешности заметно превышающих как номинальное значение погрешности ИНС, так и разность номинальных погрешностей.

Для анализа погрешности необходимо определиться с ее моделью. Вопросы моделирования погрешности ИНС достаточно хорошо исследованы в литературе. Известно, что она описывается моделью динамической системы, в которой можно выделить две характерные части. Первая часть отражает зависимость погрешностей выработки основных навигационных параметров от инструментальных погрешностей чувствительных элементов и обычно представляется в виде обыкновенных дифференциальных уравнений. Вторая часть описывает погрешности самих чувствительных элементов, и осуществляется это обычно на языке стохастических дифференциальных уравнений. В результате описание погрешности имеет вид:

.

Особенностью этой хорошо нам знакомой динамической модели является то, что в правой части уравнения вместо детерминированного входного сигнала u стоит случайный процесс (случайная функция времени) , представляющий собой векторный гауссовский белый шум единичной интенсивности. При этом матрица G(t) определяет интенсивность процесса . В результате является случайным процессом. Этот процесс линейный в виду линейности уравнений. Кроме того, он марковский (вероятность любого последующего состояния зависит лишь от его текущего значения), что особенно хорошо видно при переходе к дискретизованному представлению.

Будем считать, что скачки погрешности описываются дополнительным слагаемым в правой части уравнения модели, т.е. приходим к задаче диагностирования стохастической динамической модели в пространстве сигналов. Если рассуждать чисто формально, то для решения задачи нам достаточно по описанным в предыдущих разделах правилам построить банк наблюдателей, каждый из которых будет настроен на свое техническое состояние и будет формировать соответствующую оценку состояния диагностируемой системы (модели погрешности). Однако воспользоваться этими правилами мы не сможем ввиду лишь формальной схожести сопоставляемых описаний, а именно, ввиду того, случайный процесс w в отличие от детерминированной функции u описывается на вероятностном языке. Тем не менее, решение задачи хорошо известно, и решается она методами теории фильтрации. Известные решения структурно совпадают с рассмотренными в предыдущих подразделах. Отличие же заключается в том, что вместо банка наблюдателей состояния необходимо использовать банк фильтров Калмана, ну, и конечно, модель, используемая в этих фильтрах описывает погрешность выработки параметров, а не структуру устройства НС.

Использование только двух ИНС не позволяет при обнаружении скачка погрешности в анализируемой разности указать на отказавшую ИНС. Такая возможность появляется, если таких ИНС три. При этом используется тот факт, что искаженными оказываются лишь те попарные разности, которые формируются с участием ИНС, содержащей нарушение.

На рис.6.23 поясняется роль СД информационных отказов (ИСД) в функционировании НС, где для простоты навигационные подсистемы НС представлены тремя ИНС. Выходные параметры и диагностические признаки этих ИНС анализируются в СД. При обнаружении отказов в какой-либо ИНС, ее выходная информация блокируется, т.е. исключается из процедуры формирования комплексных навигационных параметров. Кроме того, для отказавшей ИНС указывается адекватная процедура ее восстановления. На рисунке НП 1(2,3) и ПР 1(2,3) обозначают соответственно навигационные параметры и диагностические признаки, вырабатываемые в ИНС 1(2,3), КНП – комплексные НП. Процедура блокировки данных от неисправных ИНС условно отражена на рисунке в виде схем (И) логического умножения.

Вопросы

1. Методы функционального диагностирования для обнаружения отказов.

2. Функциональное диагностирование произвольных отказов.

3. Функциональное диагностирование в пространстве сигналов.

4. Функциональное диагностирование в пространстве параметров.

5. Функциональное диагностирование информационных отказов в интегрированной навигационной системе.

Приложение 1. Основные понятия теории вероятностей

В научных исследованиях и практических разработках часто оказывается затруднительным или невозможным точно предсказать результаты некоторых многократно повторяемых экспериментов или испытаний. В этих случаях приходится использовать для описания наблюдаемых явлений вероятностные модели, в основе которых лежат понятия случайного события и случайной величины. Отказ от точного детерминированного описания объясняется сложностью наблюдаемого явления, незнанием всех причин его возникновения, невозможностью задать необходимое число исходных данных.

В теории вероятностей событие определяется как результат некоторого эксперимента или испытания. События подразделяются на детерминированные, когда условия эксперимента полностью определяют его результат, и случайные, когда это требование не выполняется. Два события называются несовместными, если в одном и том же испытании появление одного из них исключает появление другого. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появляется хотя бы одно из них.

Для количественной характеристики случайного события A используется вероятность P (A) его появления (), которая определяется как отношение числа благоприятствующих событию A исходов к общему числу равновозможных несовместных исходов, составляющих полную группу событий. Среди детерминированных событий обычно выделяют достоверные (P (A) = 1) и невозможные (P (A) = 0).

Сумма вероятностей событий , образующих полную группу, равна единице: .

Если полную группу составляют два события, то они называются противоположными.

Произведением двух событий A и B называется событие AB, означающее совместное появление в результате испытания этих событий. Если при вычислении вероятности P(B) какого-либо события B не накладывается никаких дополнительных условий, связанных с появлением других случайных событий, то такая вероятность называется безусловной. Если вероятность события B вычисляется в предположении о наличии события A, то она называется условной вероятностью и обозначается P(B|A). Если наступление события A изменяет вероятность события B, то такие события называются зависимыми. Вероятность произведения двух зависимых событий определяется формулой

. (П.1.1)

Суммой двух событий A и B называют событие C=A+B, которое состоит в появлении либо события A, либо события B, либо событий A и B одновременно. Если A и B несовместные, то их сумма – это событие, состоящее в появлении какого-либо из этих событий. Выражение для вероятности P(A+B) суммы независимых совместных событий A и B можно получить через выражение для вероятности противоположного события P () (– событие, противоположное событию A, т.е. P =1; – событие, противоположное событию B)

.

Отсюда вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий, для которых P (A) P (B) = 0, равна сумме вероятностей этих событий: .

Одним из эффективных методов расчета вероятностей событий является формула полной вероятности. Эта формула позволяет определить вероятность события , которое может наступить лишь при условии появления одного из событий образующих полную группу несовместных событий. Тогда событие можно представить в виде суммы попарно несовместных событий