2014-02-09
617
Определение 1. Элементарной конъюнкцией n переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.
Элементарная конъюнкция n переменных может быть записана в виде:
Определение 2. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.
Для любой формулы алгебры логики путем равносильных преобразований можно получить ее ДНФ. причем не единственную. Среди многочисленных ДНФ А существует единственная ДНФ А, для которой выполняются перечисленные выше четыре свойства совершенства (свойства (С)). Такая ДНФ А называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы А (СДНФ А).
Способы приведения формулы к СДНФ.
1. СДНФ А может быть получена с помощью таблицы истинности.
Пример1. Пусть функция f (x 1, x 2, x 3) задана таблицей истинности. Запишем ее в виде СДНФ.
| x 1 | x 2 | x 3 | f | ||||
Выберем наборы, на которых функция равна 1. Их три: (0, 1, 0), (1, 0, 0) и (1, 1, 1), поэтому
f (x 1, x 2, x 3)º
& x 2&
Ú x 1&
&Ú x 1& x 2& x 3.
2. Другой способ получения СДНФ формулы А основан на равносильных преобразованиях формулы и состоит в следующем:
Алгоритм приведения формулы к СДНФ.
1. Путем равносильных преобразований формулы А получают одну из ДНФ А.
2. Если в полученной ДНФ А входящая в нее элементарная конъюнкция В не содержит переменную xi, то используя равносильность В&(хi Ú 
) ºВ, элементарную конъюнкцию В заменяют на две элементарных конъюнкции (В& хi) и (В&). каждая из которых содержит переменную хi.
3. Если в ДНФ А входят две одинаковых элементарных конъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользуясь равносильностью В ÚВ º В.
4. Если некоторая элементарная конъюнкция В, входящая в ДНФ А. содержит переменную и ее отрицание, то элементарная конъюнкция В будет равна 0, и В можно исключить из ДНФ А, как
нулевой член дизъюнкции.
5. Если некоторая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ А, содержит переменную Х; дважды, то одну переменную можно отбросить.
Пример2: Следующую формулу привести к СДНФ, предварительно приведя её равносильными преобразованиями к ДНФ: А=
Решение: 
Определение 3. Элементарной дизъюнкцией n переменных называется дизъюнкция переменных или их отрицаний. Элементарная дизъюнкция n переменных может быть записана в виде:
Определение 4. Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.
Для любой формулы алгебры логики путем равносильных преобразований можно получить ее КНФ, причем не единственную.
Способы приведения формулы к СКНФ.
1. СКНФ может быть получена с помощью таблиц истинности.
Пример3. Пусть f (x 1, x 2, x 3) = x 1 
(x 2(x 3 ~ x 1)). Представим ее в виде КНФ, для этого получим таблицу истинности.
| x 1 | x 2 | x 3 | x 3~ x 1 | x 2(x 3~ x 1)
| f |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
(Выберем наборы, на которых функция принимает значение 0). Функция равна нулю только на наборе (1, 1, 0), поэтому f (x 1 x 2 x 3)= Ù Ù x 3.
2. Другой способ получения СКНФ, использующий равносильные преобразования, состоит в следующем:
Алгоритм приведения к СКНФ.
1. Путем равносильных преобразований формулы А получают одну из КНФ А.
2. Если в полученной КНФ А входящая в нее элементарная дизъюнкция В не содержит переменную хi то используя равносильность ВÚ (хi & ) ºВ. элементарную дизъюнкцию В заменяют на две элементарные дизъюнкции В Úхi и ВÚ. каждая из которых содержит переменную хi.
3. Если в КНФ А входят две одинаковых элементарных дизъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользуясь равносильностью В& В º В.
4. Если не которая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А. содержит переменную хi дважды, то лишнюю можно отбросить. пользуясь равносильностью xÚxºx;.
5. Если некоторая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А. содержит переменную и ее отрицание. то элементарная дизъюнкция имеет значение 1, а поэтому ее можно отбросить. как единичный член конъюнкции.
Пример4: Следующую формулу привести к СКНФ, предварительно приведя её равносильными преобразованиями к КНФ: А=.
Решение: 
