Графическое обеспечение автоматизированного проектирования

Синтез конструкций объектов проектирования может осуществляться путем 2D - или 3D -проектирования. Процессы 2D - и 3D -проектирования существенно различаются. При проектировании в 2D чертежи являются главными документами, определяющими конструкцию каждой детали и отражающими то, как эти детали должны быть собраны. Эти чертежи могут быть разработаны как на чертежной доске, так и при помощи CAD -систем, которые по сути являются эквивалентом чертежной доски.

Основное неудобство методов 2D -проектирования состоит в том, что по чертежам зачастую трудно представить себе, как изделие реально выглядит в пространстве. Поэтому конструкторы иногда вынуждены сопровождать чертежи реальными прототипами. В машиностроении прототипом часто служит первое выпущенное изделие или даже первая партия. Ошибки в чертежах, равно как и ошибки, вызванные неправильной интерпретацией чертежей, приходится исправлять на реальном изделии – процесс, который может быть не только медленным, но и дорогостоящим.

Напротив, трехмерные системы твердотельного моделирования создают пространственную модель изделия прежде, чем будут сделаны какие-либо чертежи или опытные образцы. Основным документом в этом случае является не чертеж, а компьютерная 3D -модель.

Необходимость решения указанных задач инженерного проектирования определила появление и развитие метода геометрического программирования.

Основное требование метода геометрического программирования состоит в том, чтобы и целевая функция, и ограничения были выражены в виде так называемых позиномов, имеющих вид:

(2-6)

где - произвольные вещественные числа.

Анализ известных формул расчета деталей машин, а также всевозможных условий прочности, жесткости, устойчивости и др., показывает, что большая часть из них выражается зависимостями вида (2-6). Именно это обстоятельство позволяет считать метод геометрического программирования удачным для решения задач оптимального проектирования объектов машиностроения.

По сравнению с другими методами оптимизации геометрическое программирование имеет следующие преимущества:

• позволяет выявить достаточно полную картину сравнительной значимости проекта и отдельных слагаемых частей целевой функции;
• минимальное значение целевой функции находится до определения оптимальных значений параметров;
• исходная задача с нелинейными целевой функцией и ограничениями сводится к двойственной задаче с нелинейной целевой функцией, но линейными ограничениями, решить которую легче, чем исходную задачу;
• имеется возможность количественной оценки степени трудности решаемой задачи;
• для реализации метода с применением ЭВМ можно разработать универсальный программный комплекс.

В общем случае исходную задачу геометрического программирования формулируют следующим образом - найти минимальное значение целевой функции f(x) при ограничениях, причем f(x) и левые части ограничений являются позиномами (2-6).

Одна из важнейших характеристик - степень трудности решаемой исходной задачи геометрического программирования определяют из выражения:

d = n-(m+1),

где n- общее число слагаемых членов во всех позиномах (целевой функции и ограничениях); т- число оптимизируемых параметров.

Степень трудности решаемой задачи характеризуется:

• - при d = 0 - сложностью решения системы n линейных уравнений;
• - при d = 1 - сложностью решения одного нелинейного и системы n линейных уравнений;
• - при d> 0 - сложностью решения системы d нелинейных алгебраических уравнений и n линейных уравнений.

Подход к оптимизации позиномиальных функций основан на неравенстве между средним арифметическим и средним геометрическим, согласно которому среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического. Использование неравенства для средних привело к появлению термина геометрического программирования.

Проиллюстрируем метод геометрического программирования (ГП) в случае линейных ограничений

Неравенство для средних позволяет заключить, что для произвольных положительных чисел и таких чисел, что имеет место соотношение

, (2-7)

причем равенство достигается в случае. Полагая, можно переписать выражение (2-7) для любых величин и,,

.

Неравенство обращается в равенство только тогда, когда. Пусть. Тогда ЦФ f(x) =.

Следовательно,.

Неравенство имеет место при любых, таких, что. Предположим, что имеет место соотношение:. Тогда неравенство сводится к системе соотношений: для всех при и.
Поскольку неравенство может обращаться в равенство, можно получить:,где δ_i удовлетворяет указанным соотношениям.

Рассмотрим следующую прямую задачу геометрического программирования.

Минимизировать при ограничениях. Двойственная задача имеет следующий вид.

максимизировать при ограничениях:

1., система неравенств называется условием неотрицательности;

2., данное уравнение называется условием нормализации; следует учесть в дальнейшем, что оно составляется только для позиномов, входящих в ЦФ;

3., указанная система уравнений называется условием ортогональности и составляется для всех позиномов; причем коэффициенты - вещественные числа, элементы матрицы экспонент (или показателей) исходной задачи.

Используя полученные выше неравенства и формулы, можно получить следующие соотношения между прямой и двойственной задачами. Наличие оптимального решения в двойственной задаче представляет собой достаточное условие существования оптимума в прямой задаче.

Для соответствующих оптимумов:

.

Прямое и двойственное оптимальные решения связаны соотношением:

или.

Допустимое решение двойственной задачи дает нижнюю границу оптимального значения ЦФ. В случае ограничений, представленных позиномами, задача усложняется, однако подход остается аналогичным.