Множество Мандельброта – пример алгебраического фрактала

Алгебраические фракталы

Алгебраические фракталы описывают нелинейные процессы в n-мерных пространствах, где n – не обязательно целое и положительное число.
Использование компьютерного моделирования для математических моделей различных процессов, или как сейчас говорят, математического компьютинга, может дать очень интересные результаты, которые найдут свое практическое применение и дадут толчок развитию новых инновационных технологий в различных областях.
Понятно, что для получения новых результатов, помимо большого опыта математика-программиста требуются колоссальные итерационные процессы (огромная размерность файлов (в пикселах), большое число итераций) на компьютерах с большой памятью и быстродействием.
Графическим следом отражения моделируемых нелинейных процессов является фрактал – представитель нового класса компьютерно-математической растровой графики – фрактальной графики. На рис. 2 показано увеличение алгебраического фрактала почти в 2 миллиона раз. Из рисунка видно, что при увеличении видны не размытые цветные области, а все тот же фрактал (или его часть).

Рис. 2. Бесконечность алгебраического фрактала, постепенное увеличение изображения

Принципиальное отличие фрактальной графики от классической и обычной компьютерной, заключается в том, что получаемое изображение (графический след, фазовый портрет) для некоторых классов фракталов бесконечно при увеличении изображения (рис. 2). То есть, как бы вы не уменьшали масштаб, в получаемом увеличенном изображении будут не примитивные цветные пикселы, а рисунок все того же фрактала. Это и есть свойство самоподобия.
Увеличение дает нам все то же подобное изображение. Очень удобное свойство для создания множества изображений большого объема на одну тему. Это дает возможность на базе одного фрактала создавать стиль с огромным количеством изображений, ограниченных по объему файла только возможностями компьютера или суперкомпьютера.
Данное свойство алгебраических фракталов можно использовать в промышленном дизайне при создании изображений для поверхностей большой площади (фрески, витражи, интерьеры, внешние стены).

Множество Мандельброта — это фрактал (рис. 3), определённый как множество точек на комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность не уходит в бесконечность; Zi и C - комплексные переменные.

Берется точка комплексной плоскости с координатами (a,b), соответствующая комплексному числу c=a+bi. К этой точке n раз применяется преобразование. Если в результате n преобразований точка удалится на 2 или более единицы от начала координат, то она не принадлежит множеству Мандельброта, она окрашивается в белый цвет.
Если же расстояние от этой точки до начала координат при любом числе итераций n (допустим n=200) останется меньше 2, то точка принадлежит множеству Мандельброта и она окрашивается в черный цвет.