Средний уклон линий профиля

Средняя высота профиля

Основы морфометрии. Морфометрические показатели поверхности (средняя высота, уклоны, горизонтальное и вертикальное расчленение).

Морфометрия (измерение форм) возникла в первой половине 19 века в связи с задачами количественной оценки степени расчленения рельефа. Развитию морфометрии способствовало появление изображения рельефа горизонталями, а также появление крупномасштабных топокарт.

Морфометрия тесно связана с картометрией, изучающей и разрабатывающей способы разнообразных измерений по географическим картам. Морфометрические показатели служат для сравнения линейных или территориальных единиц, их классификации. Изучение связей между различными показателями есть по существу изучение связей между явлениями, оценками которых они являются.

Объектами картографирования являются многие морфометрические показатели. Существуют карты средних уклонов, густоты овражной или речной сети, залесённости и др. Морфометрические показатели, применяемые в различных отраслях знаний, использующих карты, разнообразны по форме и содержанию. В некоторых отраслях число их довольно велико. Например, в геоморфологии число показателей составляет несколько десятков.

Абсолютная высота вдоль линии АВ профиля может быть представлена в виде функции расстояния текущей точки от некоторой фиксированной в качестве начальной точки:

Тогда, средняя высот профиля на отрезке ab определится как среднее интегральное значение высоты на этом отрезке.

Где - длина отрезка.

На практике используются решения, когда интеграл в формуле (2) находится численными методами - по правилу прямоугольников, трапеций или другому.

В некоторых случаях (главным образом при использовании карт в проектировании) различаются положительный и отрицательный уклоны. В этих случаях при определении уклона будет иметь место компенсация положительных и отрицательных значений, что приведет к неверной оценке среднего уклона как морфометрического показателя. Поэтому в морфометрии в качестве характеристики уклона рассматривается его абсолютная величина.

Принимая, как и ранее, Н функцией, частный уклон в точке М можно определить как отношение бесконечно малого приращения высоты, взятого по абсолютной величине, к соответствующему приращению горизонтального положения.

Принимая уклон также функцией для его среднего интегрального значения на отрезке профиля, получим:

С учетом (1) получим:

Величина определенного интеграла здесь есть изменение функции на отрезке.

В геометрическом смысле эта величина (изменение функции) представляет собой сумму абсолютных приращений функции между соседними экстремумами профиля, включая и точки A и В. На рисунке изменение функции на отрезке профиля равно сумме отрезков ΔН₁, ΔН₂, ΔН₃, ΔH₄ , которые представляют разность высот соседних экстремумов. Таким образом, формула (3) может быть представлена в следующем виде:

Где нулевой номер присвоен высоте точки A, а П-й – высоте точки B.

Здесь мы видим, что для того, чтобы произвести расчеты по формуле (4) достаточно снять с карты последовательно высоты экстремальных точек и определить длину самой линии.

Рассмотрим профиль АВ с нанесенными следами плоскостей горизонталей постоянного сечения h

Превышение между соседними экстремумами определяется как

где - число следов горизонталей, пересеченных линией профиля между двумя его экстремумами;

δ₁ и δ₂ - расстояния от экстремумов до ближайших плоскостей горизонталей, заключенных в промежутке между экстремумами.

Расстояние δ₁ и δ₂ можно не измерять, то тогда нужно учесть их как математические ожидания случайных величин, равномерно распределенных на отрезке от О до h, т.е. таких, которые с равной вероятностью могут принимать любые значения на этом отрезке.

Из теории вероятности известно, что для этого закона распределения математическое ожидание случайной величины = h/2. Заменив δ₁ и δ₂ в формуле (5) на это значение, получим:

И тогда формула (4) приобретет следующий вид:

Или

Где t - общее число пересечений линий профиля с горизонталями основного сечения рельефа.

Как видно, для расчета по формуле достаточно подсчитать (по карте) число горизонталей основного сечения, пересекаемого линией, и определить ее длину.