Лекция 8. Элементы теории графов

Язык и методы теории графов используются для описания и исследования структурных (комбинаторных) свойств управляющих систем.

Графы - это формальный способ представления систем, состоящих из конечного числа отдельных фрагментов или компонент, между которыми имеют место некоторые связи.

При этом природа связей может быть произвольной для различных систем в разных областях деятельности.

Приведем примеры систем, для которых учет связей между компонентами важен с точки зрения назначения и функционирования систем.

1. Транспортные сети. Их компонентами являются отдельные населенные пункты или объекты, а связями -указание на наличие дорог, которые их соединяют.

2. Молекулы химических соединений. Частями таких систем являются отдельные атомы, составляющие молекулы, а связями — химические соединения между атомами.

3. Электронные схемы. В качестве компонентов в них входят функциональные узлы или элементы, а связи указывают на наличие проводов, соединяющих узлы друг с другом.

4. Административный аппарат учреждения. Здесь частями являются отдельные должностные лица, а связи указывают на наличие должностной подчиненности между сотрудниками учреждения.

Естественная форма наглядного задания систем, представляемых графами, состоит в изображении их на плоскости или в трехмерном пространстве так, чтобы части систем были замкнутыми областями пространства, а связи -дугами. При этом если для связи между частями системы характерно наличие направленности от одной части к другой, то соответствующая дуга снабжается указанием соответствующего направления. Дополнительно требуется, чтобы выбранные области, представляющие части графа, не имели общих точек, а дуги, отражающие связи, не пересекались и не содержали внутри точек областей, соответствующих частям системы.

Изображение системы, для которой выполнены перечисленные условия, называется геометрическим заданием этой системы.

Пример. Возможна следующая система подчиненности по службе сотрудников аппарата управления некоторой фирмы (рис.3):

Рисунок 3 – Схема соподчинённостей.

Не случайно теория графов «открывалась» независимо много раз: ее с полным основанием можно считать разделом прикладной ма­тематики. В самом деле, наиболее раннее известное упоминание этой теории встречается в работах Эйлера, и хотя проблему, кото­рой он занимался, можно рассматривать как обычную головоломку, все же она возникла из практики.

Последующие переоткрытия теории графов Кирхгофом и Кэли также уходят своими корнями в реальную действительность. Изу­чение Кирхгофом электрических цепей привело к разработке им основных понятий и получению ряда теорем, касающихся деревьев в графах. В свою очередь Кэли подошел к исследованию деревьев, решая задачи перечисления органических изомеров. Другой под­ход к графам, связанный с рассмотрением головоломок, был пред­ложен Гамильтоном. После этого появилась знаменитая гипотеза четырех красок, которая до сих пор пользуется широкой извест­ностью. В наше столетие также было чрезвычайно много переоткры­тий теории графов. Упомянем кратко некоторые из них, придержи­ваясь хронологического порядка.