Линеаризация динамических характеристик систем

Динамическими характеристиками называются зависимости между входными и выходными величинами системы, имеющие место в переходном процессе, вызываемом изменением входной величины.

Рассмотрим линеаризацию динамических характеристик на примере объекта, представляющего собой бак, заполненный водой (рис. 1 – 8).

Предположим, в момент времени t=0 был прикрыт кран стояка – X_ст и разбаланс между стоком и притоком становится равным DQ₀, т.е. приток воды в бак будет существенно больше, чем сток. Это вызывает увеличение уровня воды в баке (рис. 1 – 10) и, следовательно, ведет к увеличению гидростатического напора. Увеличение гидростатического напора, в свою очередь, приводит к увеличению стока воды из бака при той же степени открытия крана стока и уменьшению притока воды в бак (рис. 1 – 9).

Рост уровня воды в баке будет наблюдаться до тех пор, пока, при новом положении крана стока, расход воды со стороны притока и стока не станет равным между собой, определенным новым установившемся уровнем воды в баке. Найдем дифференциальное уравнение рассматриваемой системы, описывающее переходные процессы в ней.

За время Dt разбаланс между притоком и стоком изменится на величину, равную:

; (1-5)

здесь: S – площадь поперечного сечения бака;

Dy – текущее изменение уровня воды в баке;

Q_ПР – расход воды, подводимой к баку;

Q_СТ – расход воды из бака.

Преобразуем уравнение (1-5) к виду:

и, устремив Dt®0, получим дифференциальное уравнение, описывающее переходный процесс в системе:

(1-6)

Однако полученное уравнение является нелинейным, так как расход Q_ПР и Q_СТ является нелинейной функцией перепада давления и степени открытия клапана, т.е.

, (1-7)

где k₁ и k ₂ – постоянные коэффициенты;

P_ПР – давление на входе в регулируемый участок (бак);

y – уровень воды в баке, равный y₀+Dy.

Воспользовавшись формулой (1-2), разложим подкоренное выражение в ряд Тейлора и, полагая, что отклонения Dy малы, отбросим все члены со степенями выше первой. В результате получим:

;

,

где и .

Подставляя полученные значения в (1-7), получим:

;

.

Отсюда (обозначив a=k₁c₁ и b=k₂c₂) находим:

.

Подставляя последнее выражение в (1-6), получим:

или

. (1-8)

Таким образом, дифференциальное уравнение (1-6) представлено в линеаризованном виде. Обозначив

и ,

запишем линеаризованное дифференциальное уравнение в наиболее употребляемой форме:

(1-9)

Коэффициент T в уравнении (1-9) называется постоянной времени объекта, т.е.

T – такое время, в течение которого регулирующая величина достигла бы своего конечного установившегося значения, если бы все время изменялась с постоянной начальной скоростью. Как видно из рисунка 1 – 10, постоянную времени находим, проведя касательную к точке, в которой скорость изменения выходной величины будет максимальной (данном случае при t=0).

k – коэффициент усиления (передачи) численно равен конечному относительному отклонению регулируемой величины при единичном возмущении, т.е. возмущении, вызванном отклонением регулирующего органа на единицу его перемещения от полностью открытого до полностью закрытого его состояния (и наоборот).

В результате решения дифференциального уравнения (1-9) находится переходный процесс в системе, который обычно называют кривой разгона, переходной характеристикой или временной характеристикой.

Промышленные объекты управления, переходная характеристика которых подобна изменению уровня воды в баке (рис. 1 – 8, 1 – 10), относятся к классу так называемых объектов с самовыравниванием. Объекты, которые с течением времени за счет изменения регулируемой величины, вызванного изменением количества подводимого (или отводимого) к объекту энергии или вещества, без вмешательства извне приходят к новому установившемуся состоянию равновесия (когда подвод энергии к объекту и отвод ее от объекта будут равны) называются объектами с самовыравниванием.

Промышленные объекты, у которых отклонения регулируемой величины не приводят к достижению нового установившегося состояния равновесия, называются объектами без самовыравнивания.

В качестве примера, объекта, не обладающего свойством самовыравнивания, может служить тот же бак с водой (рис. 1 – 8) в случае, если вода из бака откачивается насосом с постоянной производительностью. В этом случае изменение уровня воды в баке (изменение регулируемой величины) не будет влиять на количество откачиваемой насосом воды.

При анализе дифференциального уравнения (1-9) необходимо обратить внимание на тот факт, что в частном случае, когда на систему не действуют возмущения и производная обращается в нуль, получается линеаризованное уравнение Dy=k×Q₀ статики.

Следовательно, статическая характеристика системы может быть найдена как частный случай динамической характеристики при условии, что все производные последней обращается в нуль.