Экономико-математические параметры производственной функции

Основные характеристики ПФ рассматриваются на примере функции:

.

Средние величины

Средние продукты характеризуют удельный эффект использования ресурсов в производственном процессе фирмы.

Средняя производительность труда – это отношение произведенного продукта к количеству затраченного труда:

.

Средняя фондоотдача – это отношение объема произведенного продукта к стоимости основных фондов:

.

Для функции Кобба-Дугласа средняя производительность труда равна:

и в силу условия b <1 является убывающей функцией аргумента L. Другими словами, с увеличением трудозатрат средняя производительность труда падает, поскольку величина второго ресурса К остается неизменной, и привлекаемая рабочая сила не обеспечивается дополнительными средствами производства; фондовооруженость при этом снижается. Аналогично интерпретируется средняя фондоотдача.

Пример 1.2.1. В фирме, производящей обувь, 5 рабочих работает на 5 станках, и выпускается 1000 пар обуви в месяц. Поэтому средняя производительность труда одного рабочего составит (1000/5)=200 пар/чел. Фондовооруженость при этом равна (5/5)=1 станок/чел. Предположим, что нанято ещё 5 рабочих, в результате чего выпуск продукции увеличился до 1500 пар обуви в месяц. Средняя производительность труда рабочего снизится до (1500/10)=150 пар/чел. Фондовооруженость уменьшится (5/10)=0,5 станок/чел.

Геометрически среднее значение спродукта интерпретируется как угловой коэффициент секущей линии, проведенной из начала координат к точке кривой выпуска, характеризующей определенное значение продукта , то есть из рис. 1.3 следует, что:

.

Предельные величины

Предельные продукты характеризуют эффект в виде прироста объема продукции, получаемый от увеличения затрат ресурсов.

Предельная производительность труда – характеризует величину дополнительного эффекта от каждой затраченной единицы труда при данном сочетании ресурсов (К,L):

.

Исходя из определения ПФ при увеличении затрат труда предельная производительность труда снижается. Геометрически предельный продукт, как показано на рис. 3, представляет собой угловой коэффициент касательной к кривой выпуска в данной точке

.

Для функции Кобба-Дугласа предельная производительность равна:

,

то есть предельная производительность пропорциональна средней и всегда меньше ее, так как b <1 (рис. 1.4).

Рис. 1.3. Геометрический смысл средних и предельных величин

Предельная фондоотдача определяется аналогично:

.

Пример 1.2.2. Фирма, рассмотренная в примере 1.2.1, нанимает дополнительного рабочего. Если коэффициент b=0,75, то увеличение продукции (предельная производительность) составит (0,75*200)=150 пар/чел. Если же фирма, имея 10 рабочих, наймет дополнительного рабочего, то увеличение продукции составит (0,75*150)=113 пар/чел.

Коэффициенты эластичности

Большое значение для анализа ПФ имеют безразмерные коэффициенты, характеризующие процент прироста объема выпуска продукции при увеличении затрат ресурса на 1%, то есть коэффициенты эластичности.

Эластичность продукта по фондам определяется по формуле:

.

Поскольку при неизменном объеме трудозатрат относительному увеличению объема основных фондов на соответствует относительное увеличение выпуска на , то относительное приращение выпуска составит , а переходя к пределу при DK®0, получим выражение эластичности.

Рис. 1.4. Средний и предельный продукты функции Кобба-Дугласа

Эластичность продукта по труду

имеет аналогичное значение.

Параметры функции Кобба-Дугласа являются коэффициентами эластичности:

Поэтому для функции Кобба-Дугласа коэффициенты a, b постоянны и не зависят от объема факторов К, L.

Пример 1.2.3. Фирма, рассмотренная в примере 1.2.1, планирует увеличить штат персонала на 10%. Если эластичность продукта по труду b=0,75, то увеличение продукции в результате составит (0,75*10)=7,5%. Можно сформулировать обратную задачу: на сколько процентов следует увеличить штат фирмы, если прирост объема производства должен составить 7,5%? Очевидно, количество работников должно возрасти на (7,5/0,75)=10%.